Produit scalaire, propriétés : la fiche de révision

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Produit scalaire et coordonnées de vecteurs :

Le plan étant muni d'un repère orthonormé, on définit le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) et noté \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}\) par le réel : \[\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= xx' + yy' \]
Exemple : Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) est :
\[\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= (5)\times 1 + 2\times (-3) = - 1 \]
Commentaire :
  • Si \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\) ou \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\) alors \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= 0 \)
  • La réciproque est fausse : avec \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -6\\ 3 \end{pmatrix}\) on a \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= 0\) et pourtant ni \(\overrightarrow{u}\) ni \(\overrightarrow{v}\) n'est nul.

Produit scalaire et norme de vecteurs :

Soient \(\overrightarrow{u}\)et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls alors : \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =||\overrightarrow{u}||\times ||\overrightarrow{v}||\times \cos\widehat{(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})}\)
Exemple : Si \(||\overrightarrow{u}||=5\) ; \(||\overrightarrow{v}|| = 2\) et \(\widehat{(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})}= 60° \)
alors \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= 5\times2\cos(60°)=10 \times 0.5 = 5 \)

Propriétés :

  • Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires de même sens alors \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= ||\overrightarrow{u} ||.||\overrightarrow{v}|| \)
  • Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires de sens contraires alors \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= -||\overrightarrow{u} ||.||\overrightarrow{v}|| \)
  • \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2 = x^2 + y^2 \)
  • Si \(A\), \(B \) et \(C\) sont trois points distincts du plan alors \(\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC}= AB.AC \times cos(\widehat{BAC})\)
  • \(\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}= 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux (c'est-à-dire qu'ils forment un angle droit).

Produit scalaire et projeté orthogonal :

Soient \(A\), \(B \) et \(C\) trois points du plan distincts et \(H\) le projeté orthogonal du point \(C\) sur la droite \((AB)\).
Alors \(\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AH}\) où \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\) :

\(H \in [AB]\) et \(\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AH}=AB.AH\)

\(H \notin [AB]\) et \(\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AH}= -AB.AH\)

Commentaire :
  • Pour utiliser cette définition il faut avoir des vecteurs de même origine.
  • On peut aussi projeter orthogonalement le point \(B\) sur la droite \((AB)\).

Autres expressions du produit scalaire :

Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls : \[\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(||\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}|| ^2 -||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2)=\frac{1}{2}(-||\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}|| ^2 +||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2)\] ATTENTION :
\(||\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}|| \neq ||\overrightarrow{u}||+||\overrightarrow{v}||\) et
\(||\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}|| \neq ||\overrightarrow{AB}||+||\overrightarrow{AC}||\)

Commentaire : Connaître les formules est insuffisant ! Il faut savoir déterminer dans quel cas les appliquer et quelle formule utiliser en fonction de l'exercice. Pour ce faire : lis l'énoncé attentivement et surtout ses données.
Pour aller plus loin : On trouve dans ce chapitre de nombreuses démonstrations de cours à savoir refaire. En terminale tu verras le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace.
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