Cours Caractérisation des nombres complexes
Exercice

L'énoncé

QCM. Chaque réponse doit être justifiée.
Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \((O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\).

Question 1

Le point \(M\) est situé sur le cercle de centre \(A(-2 + 5i)\) et de rayon \(\sqrt{3}\). Son affixe \(z\) vérifie :
Réponse A : \(|z-2+5i|^2 = 3\)
Réponse B : \(|z+2-5i|^2 = 3\)
Réponse C : \(|z-2+5i| = 3\)

\(M\) appartient au cercle de centre \(A\) et de rayon \(\sqrt{3}\) donc \(AM= \sqrt{3}\).

Ainsi, \(|z-z_A|=\sqrt{3}\)

Elevons au carré cette égalité... il apparait alors que B est vraie.
Réponse B

Penser à la définition d’un cercle de centre \(A\) de rayon \(R\) : \(AM = R\)
Traduire une longueur par un module.
Si \(AM = R\) alors \(AM^2 = R^2\)

Question 2

On considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\), deux à deux distincts et tels que le triangle \(ABC\) ne soit pas équilatéral.

Le point \(M\) est un point dont l'affixe \(z\) est tel que les nombres complexes \(\dfrac{z-b}{c-a}\) et \(\dfrac{z-c}{b-a}\) sont imaginaires purs.

Réponse A : \(M\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\)
Réponse B : \(M\) appartient aux cercles de diamètres respectifs \([AC]\) et \([AD]\)
Réponse C : \(M\) est l'orthocentre du triangle \(ABC\).

L'argument d'un imaginaire pur est \(\dfrac{\pi}{2}\) modulo \(\pi\). (Faites une figure pour vous en convaincre).

On en déduit donc que :\(arg\left(\dfrac{z-b}{c-a}\right) = \dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Daprès le cours, on traduit ceci par :

\((\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BM}) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) avec \(k\) réel.
\(M\) appartient donc à la perpendiculaire à \((AC)\) passant par \(B\), donc à la hauteur issue de \(B\).

Pour les mêmes raisons, \(M\) appartient à la hauteur issue de \(C\).
\(M\) est à l'intersection de deux hauteurs du triangle, c'est donc l'orthocentre du triangle.


Réponse C

Exprimer l’argument de ce quotient d’affixes par un angle modulo \(2\pi\) (voir cours).
Calculer facilement l’argument d’un imaginaire pur modulo \(\pi\) cette fois-ci.

Question 3

Hors programme (Barycentres).
Soient \(A\) et \(B\) les points daffixes respectives \(1 + i\) et \(5 + 4i\), et \(C\) un point du cercle de diamètre \([AB]\). On appelle \(G\) l'isobarycentre des points \(A\), \(B\) et \(C\) et on note \(z_G\) son affixe.
Réponse A : \(|z_G-3-2,5i| = \dfrac{5}{6}\)
Réponse B : \(z_G-(1+i) = \dfrac{1}{3}(4+3i)\)
Réponse A : \(z_G-(3+2,5i) = \dfrac{1}{3}(4+3i)\)

\(ABC\) est un triangle rectangle en \(C\) car il est inscrit dans un demi cercle de diamètre \([AB]\).

Notons \(I\) le centre de ce cercle (donc le milieu de \([AB]\)). Le centre de gravité de \(ABC\) (ou isobarycentre) est donc situé au tiers de chaque médiane, en particulier de \([IC]\) dont la longueur égale le rayon.

On vérifie aisément que \(I\) a pour affixe \((3+2,5i)\) avec \(Z_I = \dfrac{Z_A+Z_B}{2}\).

C'est la demi-somme des affixes de \(A\) et \(B\).
Ainsi, \(IG = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{AB}{2} = \dfrac{AB}{6}\)

En passant au module, on a \(|z_G -3 - 2,5i| = \dfrac{\sqrt{4^2+3^2}}{6} = \dfrac{5}{6}\)

Réponse A

Faites une figure
Le point \(C\) est variable donc l’expression de \(Z_G\) ne peut être unique.
Pensez à la nature du triangle \(ABC\) et rappelez-vous que le centre de gravité (ou isobarycentre) est au deux tiers de chaque médiane.