Cours Résolutions d'équations
Equations et nombres complexes
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Fiche de cours

Résolution d'équations avec des nombres complexes

 

Equations du premier degré

Il y a deux formes d'équations du premier degré avec solutions complexes :

 $\bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.

 $\bullet$ $az+b\bar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $\mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.

 

Exemple

Trouver la ou les solutions de l'équation $(E) : z-\bar z+i=0$.

 

On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l'équation $(E)$ :

$(a+ib)-\overline{(a+ib)}+i=0 \Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 \Leftrightarrow 2ib=-i \Leftrightarrow b=-\dfrac12$

Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s'écrivant :

$z=a-\dfrac12 i$, avec $a$ réel. 

 


Equations du second degré

La forme générale d'une équation du second degré est la suivante :

$\boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.

La résolution de cette équation est semblable à celle d'une équation du second degré avec

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