Cours Algorithmes
Exercice

L'énoncé

On considère l'algorithme suivant appelé dichotomie qui permet de trouver les bornes d'un intervalle dans lequel une fonction s'annule :

Variables

$a, b, m, h$ sont des nombres

$f$ est une fonction

Initialisation Lire $a$
  Lire $b$
  Lire $h$
Traitement Tant que $b-a > h$ :
       Affecter à $m$ la valeur $\frac{a+b}{2}​$
       Si $f(a) \times f(m) > 0$, alors
             Affecter à $a$ la valeur $m$
       Sinon
             Affecter à $b$ la valeur $m$
       Fin Si
  Fin Tant que
Sortie Afficher $a$
  Afficher $b$

Question 1

Modifier cet algorithme avec la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3+x-4$

 

Variables

$a, b, m, h$ sont des nombres

Initialisation Lire $a$
  Lire $b$
  Lire $h$
Traitement Tant que $b-a > h$ :
       Affecter à $m$ la valeur $\frac{a+b}{2}​$
       Si $(a^3+a-4) \times (m^3+m-4)> 0$, alors
             Affecter à $a$ la valeur $m$
       Sinon
             Affecter à $b$ la valeur $m$
       Fin Si
  Fin Tant que
Sortie Afficher $a$
  Afficher $b$

 

Question 2

Compléter le tableau suivant avec $a=1$ ; $b=2$ et $h= 0,1$ 

$a$ $b$ $h$ $b-a > h$ $m$ $f(a) \times f(m) > 0$
1 2 0,1 vrai 1,5 faux
1 1,5
$a$ $b$ $h$ $b-a > h$ $m$ $f(a) \times f(m) > 0$
1 2 0,1 vrai 1,5 faux
1 1,5 0,1 vrai 1,25 Vrai
1,25 1,5 0,1 vrai 1,375 Vrai

 

Question 3

On choisit désormais $h=0,3$

Compléter le tableau 

$a$ $b$ $h$ $b-a > h$ $m$ $f(a) \times f(m) > 0$
1 2 0,3 vrai 1,5 faux
1 1,5

 

$a$ $b$ $h$ $b-a > h$ $m$ $f(a) \times f(m) > 0$
1 2 0,3 vrai 1,5 faux
1 1,5 0,3 vrai 1,25 Vrai
1,25 1,5 0,3 faux - -

 

Lors de la dernière étape $b-a > h$ donc l'algorithme prend fin et propose l'affichage de $a$ et $b$.

 

Question 4

Qu'affiche l'algorithme ?

Conclure par une phrase.

L'algorithme affichera les deux dernières valeurs de $a$ et de $b$ :

$a=1,25$

$b=1,5$

Ainsi, la fonction s'annulera sur l'intervalle $[1,25;1,5]$