Cours Inéquations du premier degré
Exercice

L'énoncé

Les cinq questions sont indépendantes


Question 1

Résoudre ces inéquations :

a) $x-5<2x+7$

b) $-4x+10>5x-17$

c) $4x+5<2x+5$

d) $2.5(x+4) < 0.5x-15$

a) $x-5<2x+7$

$x-2x < 7+5$

$-x < 12$

$x > -12$

On peut voir ici la représentation graphique de cette solution en bleu. Le crochet signifie que $-12$ n'est pas compris dans la solution vu que $x$ est STRICTEMENT supérieur à $-12$ et non supérieur ou égal.

q1_1_1

 

b) $-4x+10>5x-17$

$-9 x > -27$

$x < \dfrac{-27}{-9}$

$x < \dfrac{27}{9}$

$x < 3$

On peut voir ici la représentation graphique de cette solution en bleu. Le crochet signifie que $3$ n'est pas compris dans la solution vu que $x$ est STRICTEMENT inférieur à $3$ et non inférieur ou égal.

q1_2_1

 

c) $4x+5<2x+5$

$4x - 2x < 5-5$

$2x < 0$

$x < \dfrac{0}{2}$

$x < 0$

On peut voir ici la représentation graphique de cette solution en bleu. Le crochet signifie que $0$ n'est pas compris dans la solution vu que $x$ est STRICTEMENT inférieur à $0$ et non inférieur ou égal.

q1_3_1

 

d) $2.5(x+4) < 0.5x-15$

$2,5 x + 10 < 0,5 x - 15$

$2,5 x - 0,5 x < -15 - 10$

$2 x < -25$

$x < \dfrac{-25}{2}$

$x < -12.5$

On peut voir ici la représentation graphique de cette solution en bleu. Le crochet signifie que $-12.5$ n'est pas compris dans la solution vu que $x$ est STRICTEMENT inférieur à $-12.5$ et non inférieur ou égal.

q1_4_1

Question 2

Résoudre ces inéquations en donnant la solution sous la forme d'un intervalle solution :

a) $2x - \dfrac{1}{3} < 3x - \dfrac{1}{4}$

b) $\dfrac{3x+1}{4}>\dfrac{5x+1}{6}$

a) $2x - \dfrac{1}{3} < 3x - \dfrac{1}{4}$

$2x - 3x < \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$

$-x < \dfrac{1}{12}$

$x > -\dfrac{1}{12}$

On peut voir ici la représentation graphique de cette solution en bleu. Le crochet signifie que $-\dfrac{1}{12}$ n'est pas compris dans la solution vu que $x$ est STRICTEMENT supérieur à $-\dfrac{1}{12}$ et non supérieur ou égal.

q2_1

 

b) $\dfrac{3x+1}{4}>\dfrac{5x+1}{6}$

$\dfrac{3x}{4}+\dfrac{1}{4}>\dfrac{5x}{6}+\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{3x}{4} - \dfrac{5x}{6}>\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{9x}{12} - \dfrac{10x}{12}>\dfrac{2}{12} - \dfrac{3}{12}$

$-\dfrac{x}{12} >-\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{x}{12} <\dfrac{1}{12}$

$x <\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{12}}$

$x <\dfrac{1}{12} \times \dfrac{12}{1}$

$x <1$

On peut voir ici la représentation graphique de cette solution en bleu. Le crochet signifie que $1$ n'est pas compris dans la solution vu que $x$ est STRICTEMENT inférieur à $1$ et non inférieur ou égal.

q2_2_1

Question 3

Un particulier a des marchandises à transporter.

Un premier transporteur lui demande $460$ euros au départ et $3,5$ euros par kilomètre.

Un second transporteur lui demande $1 000$ euros au départ et $2$ euros par kilomètre.

Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s’adresser au second transporteur ?

On prend $x$ la distance en kilomètres à parcourir.

On se demande à partir de quel $x$ le second transporteur est plus avantageux, soit pour quel $x$ on a $460 + 3.5x > 1000 + 2x$.

$460 + 3.5x > 1000 + 2x$

$460 - 1000> 2x - 3.5x$

$-540> - 1.5x$

$1.5x > 540 $

$x > \dfrac{540}{1.5} $

$x > 360$

Le second transporteur est plus avantageux à partir de $360$ kilomètres.

Question 4

Une société veut imprimer des livres.

La location de la machine revient à $675$ euros par jour et les frais de fabrication s’élèvent à $3,75$ euros par livre.

Combien faut-il imprimer de livres par jour pour que le prix de revient d’un livre soit inférieur à $6$ euros ?

On appelle $x$ le nombre de livres fabriqués par jour. Le prix de fabrication de $x$ livres par jour est $3.75x + 675$.

Si le prix de revient d'un livre doit être inférieur à $6$ euros, le prix de revient de $x$ livres doit être inférieur à $6x$.

L'inéquation est donc :

$3.75x + 675 < 6x$

$3.75x - 6x < -675$

$-2.25x < -675$

$2.25x > 675$

$x > \dfrac{675}{2.25}$

$x > 300$.

Il faut imprimer au moins $300$ livres par jour pour avoir un prix de revient inférieur à $6$ euros le livre.

Question 5

Martine a quatre contrôles par trimestre en mathématiques.

Les notes sont des nombres entiers. Aux trois premiers contrôles du trimestre, elle a obtenu $5$, $12$ et $9$ sur $20$.

Pour quelles notes au quatrième contrôle, Martine aurait-elle une moyenne supérieure à $10$ ?

On appelle $x$ la note de Martine a son quatrième et dernier contrôle de maths du trimestre.

Le calcul d'une moyenne est la somme de toutes les notes divisés par le nombre de notes.

On obtient donc comme inéquation :

$\dfrac{5+12+9+x}{4} > 10$

$\dfrac{26}{4} + \dfrac{x}{4} > 10$

$6.5 + \dfrac{x}{4} > 10$

$\dfrac{x}{4} > 10 - 6.5$

$x \times \dfrac{1}{4} > 3.5$

$x  > \dfrac{3.5}{\dfrac{1}{4}}$

$x  > 3.5 \times \dfrac{4}{1}$

$x  > 3.5 \times 4$

$x  > 14$

Martine doit donc avoir plus de $14$ à son prochain contrôle pour avoir plus de $10$ de moyenne ce trimestre.