Cours Opérations sur les matrices
Exercice

L'énoncé

Soient \(A\) et \(M\) les matrices suivantes : \(A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\) et \(M=\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}\).


Question 1

Soit \(B\) la matrice : \(B= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Les matrices \(A\) et \(B\) commutent-elles ?

\(AB = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} = BA\). Les matrices \(A\) et \(B\) commutent.

Savez-vous ce que sont des matrices commutantes ?
Deux matrices \(A\) et \(B\) commutent si \(AB = BA\).
Si vous ne savez pas encore calculer un produit de matrices, revoyez le rappel en vidéo.

Question 2

Montrer que \(A\) et \(M\) commutent si et seulement si : \( \left\{ \begin{array}{11} y = -2z \\ t = x -\large \frac{ y}{2} \end{array} \right. \)

\(AM = MA \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 3x+4z & 3y+4t \\ -2x + z & -2y+t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x-2y & 4x+y \\ 3z - 2t & 4z+t\end{pmatrix} \)

\(AM = MA \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{11} 2z = -y \\ 2y + 4t = 4x\\ -2x = 2z - 2t \end{array} \right.\)

\(AM = MA \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{11} y = -2z \\ t = x -\dfrac{ y}{2} \end{array} \right.\)

Avez-vous commencé par écrire que \(A\) et \(M\) commutent ?

\(AM = MA \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 3x+4z & 3y+4t \\ -2x + z & -2y+t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x-2y & 4x+y \\ 3z - 2t & 4z+t\end{pmatrix} \).
Représentez l'équation matricielle par un système d’équation. Un doute ? La vidéo de rappel vous aidera.
Par équivalences, on obtient le système demandé.

Question 3

Proposer une matrice qui commute avec \(A\).

La matrice \(C = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) vérifie bien le système.

Il suffit de déterminer une solution du système ! Il y a plusieurs solutions…
Choisissez par exemple \(x=1\) et \(z=1\). Calculez ensuite \(y\) et \(t\) pour trouver une matrice solution \(M = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}\).

Question 4

Montrer que la matrice identité vérifie ce système.

La matrice identité \(I\) vérifie : \(AI = A = IA\) , elle commute ainsi avec \(A\) et vérifie donc le système.

Savez-vous ce qu’est la matrice identité ? \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Quelles sont ses propriétés ? La matrice identité commute avec n’importe quelle matrice !