Cours Primitives
Exercice

L'énoncé

Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de chacune des fonctions suivantes :


Question 1

Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f : x\mapsto 0\)

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f : x\mapsto 0\) est par exemple:

\(F : x\mapsto 4\)

La primitive de 0 est une constante.


D’une manière générale, les primitives de \(f\) sont \(x : \mapsto \lambda\) où \(\lambda \in \mathbb{R}\)

Question 2

Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(g : x\mapsto 2\)

Une primitive de \(g : x\mapsto 2\) est : 

\(G : x\mapsto 2x\)

Une primitive de \(k\) est \(kx\)

Question 3

Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(h : x\mapsto x^5\).

Une primitive de \(h : x\mapsto x^5\) est :

\(H : x\mapsto \dfrac{1}{6}x^6\)

\(x^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times x^{n+1}\)

Question 4

Déterminer toutes les primitives sur \(\left]0;+\infty\right[\) de \(i : x\mapsto \dfrac{1}{x^2}\)

Les primitives de \(i : x\mapsto \dfrac{1}{x^2}\) sont

\(I : x\mapsto -\dfrac{1}{x}+\lambda\) où \(\lambda \in \mathbb{R}\)

Notez que \(\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}\) pour \(n\) entier relatif et \(x\) non nul.


\(x^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times x^{n+1}\) pour \(n\) entier relatif.

Question 5

Déterminer toutes les primitives sur \(\left]0;+\infty\right[\) de \(j : x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

Les primitives de \(j : x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sont :

\(J : x \mapsto 2\sqrt{x}+\lambda\) où \(\lambda \in \mathbb{R}\)

\(\sqrt{x}=x^{\dfrac{1}{2}}\) pour \(x\geq0\)


Ainsi : \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\)?

Question 6

Déterminer deux primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f : x\mapsto 2x^3 + 3x - 1\)

Deux primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) sont par exemple :
\(F_1 : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 2\)

Et : \(F_2 : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 18\)

Donnez une primitive de chacun des termes.


Pour obtenir deux primitives, il suffit de choisir deux constantes d’intégration différentes.