Cours Calculs d'intégrales
Exercice

L'énoncé

Pour tout entier naturel \(n\), on définit; \(I_n=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x)dx\)   et   \(J_n=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x)dx\)


Question 1

Calculer \(I_0\) et \(J_0\).

\(I_0=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)dx = \left[-\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\)

\(J_0=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)dx = \left[\sin(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\)

Ce sont des calculs très simples. Savez-vous calculer une intégrale ? Revoyez les pré-requis sur le calcul d'intégrales.
Connaissez-vous bien les primitives de fonctions trigonométriques ? A savoir pas cœur…

Question 2

On admet que \(I_n\) et \(J_n\) vérifient le système suivant :  \(\left\{\begin{array}{left} I_n +n J_n = 1 \\ -n I_n + J_n = e^{-n\frac{\pi}{2}} \end{array}\right.\)

En déduire les expressions de \(I_n\) et \(J_n\) en fonction de \(n\).

On résout facilement le système :
\(\left\{\begin{array}{left} I_n +n J_n = 1 \\ -n^2 I_n + nJ_n = ne^{-n\frac{\pi}{2}} \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow (1+n^2)I_n=1-ne^{-n\frac{\pi}{2}}\)

\(\Rightarrow I_n=\dfrac{1-ne^{-n\frac{\pi}{2}}}{1+n^2}\)

Puis :

\(\left\{\begin{array}{left} nI_n +n^2 J_n = n \\ -n I_n + J_n = e^{-n\frac{\pi}{2}} \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow (1+n^2)J_n=n+e^{-n\frac{\pi}{2}}\)

\(\Rightarrow J_n=\dfrac{n+e^{-n\frac{\pi}{2}}}{1+n^2}\)

\(J_n\) et \(I_n\) sont les deux inconnues de votre système. Vous allez le résoudre avec la même aisance que vous aviez en 3ème
Bon, des exponentielles se sont glissées dans vos calculs mais la méthode reste la même.

Question 3

Déterminer la limite de \(I_n\) et celle de \(J_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Pour la limite de \(I_n\), il faut utiliser le théorème des croissances comparées pour le terme : \(-ne^{-n\frac{\pi}{2}}\). Ceci tend vers $0$ bien sur.

Ainsi : \(\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} I_n=0\)

Pour \(J_n\), on sait que \(\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} J_n = \lim\limits_{\substack{n \to \infty}} \dfrac{n}{n^2}\).

On factorise par \(n\) pour obtenir :

\(\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} J_n = \lim\limits_{\substack{n \to \infty}} \dfrac{n}{n} \times \dfrac{1}{n} = \lim\limits_{\substack{n \to \infty}} \dfrac{1}{n} = 0\)

Vous devez à présent trouver les limites de ces suites. Pour ce faire, il vous faudra connaitre les limites de la fonction exponentielle.
Le théorème des croissances comparées est rappelé dans les pré-requis. Au cas où...