Cours Valeur moyenne
Exercice

L'énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[1 ; +\infty\right[\) par \(f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}\)

Et soit \(H\) la fonction définie sur \(\left[1 ; +\infty\right[\) par \(H(x)=\displaystyle\int_1^x\, f(t)dt\)


Question 1

Justifier que \(f\) et \(H\) sont bien définies sur \(\left[1 ; +\infty\right[\).

On a  : \(f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}\) .

Comme \(e^x>1\) sur \(\left[1 ; +\infty\right[\),\(e^x-1\neq 0\) donc \(f\) existe et est continue sur \(\left[1 ; +\infty\right[\).


\(f\) admet donc une primitive \(F\) et on note que  \(H( x ) = F ( x ) - F ( 1 )\) existe sur \(\left[1 ; +\infty\right[\)

Vérifiez que le dénominateur de \(f\) ne s’annule pas.
\(f\) est continue sur son ensemble de définition car c’est un quotient de deux…….
\(f\) est continue donc elle admet une primitive \(F\). On remarque que \(H(x)=F(x)-F(1)\).
Que peut-on en déduire pour \(H(x)\) ?

Question 2

Quelle relation existe-t-il entre \(H\) et \(f\) ?

Grâce au cours nous savons que :\(H'( x ) = F '( x ) - 0 = f ( x )\)

Dérivez \(H(x)\).
Pour cela, utilisez que \(H(x)=F(x)-F(1)\).
Remarquez que \(F’(x)=f(x)\) car \(F\) est une primitive de \(f\) et que \(F(1)\) est une constante donc de dérivée nulle.

Question 3

Soit C la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(( O ; \vec{i}, \vec{j} )\) du plan.
Interpréter en termes d'aire le nombre \(H( 3 )\).

\(f\) est un fonction positive sur son ensemble de définition donc \(H( 3 )\) est l'aire du domaine, exprimée en unités d'aire, délimité par \(C_f\), l'axe \((Ox)\) et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 3\).

\(H(3)\) est une intégrale d’une fonction positive entre les bornes $1$ et $3$.
Connaissez-vous l’interprétation géométrique d’une intégrale ? Voir la vidéo de rappel via les pré-requis.

Question 4

On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre \(H( 3 )\).
Montrer que pour tout réel \(x > 0\), \(\dfrac{x}{e^x-1}=x\times \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\)

Multiplions \(f ( x )\) par \(e^{-x}\) au numérateur et au dénominateur :


\(f(x)=\dfrac{xe^{-x}}{(e^x-1)e^{-x}}=x\times \dfrac{e^{-x}}{e^x\times e^{-x}-e^{-x}}=x\times\dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\)

Multipliez le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Observez le premier dénominateur et regardez ce qui a été multiplié au second.
\(e^{-x}\) bien sur..

Question 5

Montrer que si \(1 \leq x \leq 3\), alors :

\(\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)\leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln \left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)\)

La fonction \((1-e^{-x})\) est strictement positive si \(1 \leq x \leq 3\)

Or : \((\ln(1-e^{-x}))'=\dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}>0\)

\(\ln(1-e^{-x})\) est croissante sur \([1;3]\) d'où

\(\ln(1-e^{-1}) \leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln(1-e^{-3})\)

\(\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)\leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln \left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)\)

 

Point méthode :

On montre que \(\ln(1-e^{-x})\) est une fonction croissante sur \(\left[1 ; +\infty \right[\) et en particulier sur \(\left[1 ;3\right]\).

Ainsi \(1\leq x \leq 3\) implique \(\ln(1-e^{-1}) \leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln(1-e^{-3})\).

Etudiez les variations de la fonction \(\ln(1-e^{-x})\). Concluez.
Autre méthode : Partez de l’encadrement de \(x\) proposé et utilisez la croissance de l’exponentielle pour montrer que \(e\leq e^x\leq e^3\).
Passez à l’inverse.
Multipliez tout par $-1$. (en changeant le sens des inégalités)
Ajoutez $1$.
Utilisez la croissance du log népérien.

Question 6

En déduire un encadrement de \(\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx\)  puis de \(\displaystyle \int_1^3 f(x)dx\)  

On admettra que : \(\displaystyle \int_1^3 f(x) dx = 3\ln\left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)-\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)-\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x}) \,dx\)

On intègre :

\((3-1)\ln(1-e^{-1}) \leq \displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx \leq (3-1)\ln(1-e^{-3}) \)

soit : \(-2\ln(1-e^{-3}) \leq \displaystyle -\int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx \leq -2\ln(1-e^{-1})\)

Ainsi : \(3\ln(1-e^{-3})-\ln(1-e^{-1})-2\ln(1-e^{-3}) \leq \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \)

et \( \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \leq 3\ln(1-e^{-3})-\ln(1-e^{-1})-2\ln(1-e^{-1})\)

et enfin \(\ln\left(\dfrac{1-e^{-3}}{1-e^{-1}}\right) \leq \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \leq 3\ln\left(\dfrac{1-e^{-3}}{1-e^{-1}}\right) \)

\(\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{e^3-1}{e^3-e^2}\right) \leq \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \leq 3\ln\left(\dfrac{e^3-1}{e^3-e^2}\right)\)

Point méthode :

On intègre l'inégalité précédente pour obtenir un encadrement de \(\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx\).

Utilisez le résultat de la question 6 pour encadrer l’intégrale proposée.