Cours Repères, plans et droites
Exercice

L'énoncé

On se place dans un repère de l'espace et on donne : $A(1;4;0)$  ; $B(-2;2;4)$;$C( 3;3;-4)$ et  $D(0;1;0)$


Question 1

Les vecteurs $\vec{AB}$  et $\vec{CD}$ sont-ils colinéaires ?

On a: $A(1;4;0)$  ; $B(-2;2;4)$;$C( 3;3;-4)$ et  $D(0;1;0)$ donc :

$\vec{AB}(-2-1;2-4;4-0)$ soit $\vec{AB}(-3;-2;4)$

$\vec{CD}(0-3;1-3;0-(-4))$ soit $\vec{CD}(-3;-2;4)$

Les deux vecteurs sont égaux donc ils sont colinéaires.

Calculer les coordonnées des deux vecteurs et conclure.

Question 2

Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ABDC$ ?

Puisque $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme. 

Deux vecteurs égaux forment un quadrilatère fort connu.

Question 3

Déterminer les coordonnées d'un point $E(x_E;0;z_E)$ pour que les points $A,B$ et $E$ soient alignés.

Pour que les points $A,B$ et $E$ soient alignés, il suffit que les vecteurs$\vec{AB}$ et $\vec{AE}$ soient colinéaires.

Calculons les coordonnées de $\vec{AE}$  avec $A(1;4;0)$  et $E(x_E;0;z_E)$

$\vec{AE}(x_E-1;-4;z_E)$

On sait aussi que $\vec{AB}(-3;-2;4)$

Pour que les vecteurs soient colinéaires, il faut qu'il y ait proportionnalité entre chaque coordonnées. 

Le rapport des deuxièmes coordonnées impose $\vec{AE}=2\vec{AB}$

Ainsi, on en déduit que $x_E-1=2\times (-3)$  et $z_E=2\times 4$

Finalement : $E(-5;0;8)$

Les points $A,B$ et $E$ sont alignés lorsque des vecteurs sont colinéaires. Lesquels ?