Cours Études de fonctions trigonométriques
Exercice

L'énoncé

On note \(g\) la fonction définie sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) par : \(g(x) = 2x\cos (2x) - \sin(2x) + \dfrac{\pi}{2}\)


Question 1

La fonction \(g\) est-elle-\(\pi\)-périodique ?

\(g (x+\pi) = 2(x+\pi) \cos \left( 2(x+\pi)\right) - \sin \left( 2(x+\pi)\right) + \dfrac{\pi}{2} \)

\(g (x+\pi)= 2(x+\pi) \cos \left( 2x+2\pi\right) - \sin \left( 2x+2\pi\right) +\dfrac{\pi}{2} \)

\(g (x+\pi)= 2(x+\pi) \cos \left( 2x\right) - \sin \left( 2x\right) +\dfrac{\pi}{2} \)

On nobtient pas l'écriture de \(g(x)\) (car il y a le \(x+\pi\) au début de la formule, et il aurait fallu avoir \(x\) pour retomber exactement sur la formule de \(g(x)\)).
Donc \(g\) n'est pas \(\pi\)-périodique.

Écrire \(g (x+\pi)\).


On peut légèrement simplifier l’écriture en faisant apparaître par exemple \(\cos(x+2\pi)\).


Obtient-on la même formule que pour \(g(x)\) ?

Question 2

Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer \(g'(x)\).

\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
Posons \(h(x) = 2x\) \(\cos(2x)\) : c'est un produit !
\(u(x) = 2x\) et \(v(x) = \cos(2x)\)
\(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = -2\sin(2x)\)

Alors :
\(h'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x)\times v'(x)\)

\(h'(x) = 2\cos(2x)+2x \times (-2\sin(2x))\)

\(h'(x) = 2\cos(2x) - 4x\sin(2x)\)

Comme \(g(x) = h(x) -\sin(2x) + \dfrac{\pi}{2}\)

On en déduit que :
\(g'(x) = h'(x) -2\cos(2x) \)

\(g'(x) = 2\cos(2x)-4x\sin(2x) - 2\cos(2x)\)

\(g'(x)= -4x\sin(2x)\)

Conclusion : on a \(g'(x) = -4x\sin(2x)\)

Commencez par dériver le début de l’écriture : on peut poser \(h(x) = 2x\) \(\cos(2x)\) trouve la dérivée de \(h\) ! Quelles formules de cours vont servir ici ?


Pour dériver \(cos(2x)\) on a la formule \( [\cos(ax+b)]'= -a\sin (ax + b)\), (voir vidéo sur la dérivation des fonctions trigonométriques) et bien sûr on a un produit \(2x\times \cos(2x)\) !


La dérivée de \(\cos(2x)\) est \(-2\sin(2x)\). À vous de terminer le calcul grâce à \((u + v)' = u'v + uv\) !

Question 3

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(g'(x)=0\)

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow -4x \times \sin (2x) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} -4x =0\\ \sin (2x) = 0 \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = 0\\ 2x = 0 + 2k\pi\\ 2x =\pi +2k\pi \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = 0\\ x = k\pi\\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right.\)

Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont donc les réels \(x\) s'écrivant : \( x = k\pi\) ou \(x = \dfrac{\pi}{2}+ k\pi\) pour \(k \in \mathbb{Z}\).

Nous n'avons pas oublié la valeur \(x = 0\) : elle fait partie des valeurs proposées : il suffit de prendre \(k = 0\) dans la première formule \( x = k\pi\).

Déjà, il y a la règle de produit nul…


Pour résoudre \(\sin(2x) = 0\) , on utilise le cercle : pour quelles valeurs de \(X\) a-t-on \(\sin(X) = 0\) ?


\(\sin(X) = 0 \Leftrightarrow X =0 + 2k\pi\) ou \(X = \pi + 2k\pi\) et il suffit de mettre \(2x\) à la place de \(X\) ! Ensuite on isole \(x\), sans oublier de diviser les \(2k\pi\) par \(2\) !

Question 4

On se place maintenant sur \( \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), et on mène l'étude de \(g\) sur cet intervalle.
Donner les solutions de \(g'(x) = 0\) sur \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Les solutions de l'équation sont les réels \(x\) donnés par : \( x = k\pi\) ou \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\).   $k\in \mathbb{Z}$
On cherche les valeurs qui sont dans \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) :
Il y a uniquement \( x = 0 \) ou \( x = \dfrac{\pi}{2}\).

Il faut juste chercher les valeurs qui sont dans \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) parmi les \( x = k\pi\) ou \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\).

Question 5

Étudier le signe $g$ sur l'intervalle \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

On a \(g'(x) = -4x \sin(2x)\)
Le signe \(g'(x)\) dépend du signe de \(-4x\) et du signe de \(sin(2x)\) :
Et n'oublions pas que l'étude ne se fait que sur \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Sur\( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) on a \(-4x \leq 0\)
Lorsque \(0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}\) on a \( 0 \leq 2x \leq \pi\).
Or sur \([0; \pi]\) le sinus est positif (dessinez le cercle trigonométrique : si \( 0 \leq X \leq \pi\) alors on a \(\sin(X) \geq 0\)) : donc \(\sin(2x) \geq 0\).

Tableau de signes :

 

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Étudiez séparément le signe de \(-4x\) et le signe de \(\sin(2x)\). Et attention uniquement sur \(\left [0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).


\(2x\) varie entre \(0\) et \(\pi\) : quel est le signe du sinus sur \([0; \pi]\) ?


Rassemblez les informations obtenues dans le tableau de signes, en mettant bien les valeurs où la dérivée s’annule.

Question 6

En déduire le tableau de variations de \(g\) sur \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

On obtient :

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Détail du calcul des images :
\(g(0)= 0 - \sin(0) + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}\)

\(g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \pi \cos(\pi) - sin(\pi) + \dfrac{\pi}{2} = - \pi - 0 + \dfrac{\pi}{2} = - \dfrac{\pi}{2}\)

N’oubliez pas de compléter votre tableau avec les images de \(0\) et de \( \dfrac{\pi}{2}\).

Question 7

Montrer que l'équation \(g(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\) dans \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Hypothèse 1 : la fonction \(g\) est continue sur \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Hypothèse 2 : \(g\) est strictement croissante sur \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Hypothèse 3 : \(g(0) = \dfrac{\pi}{2} > 0\) et \( g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{2} < 0\),

De plus, \( 0 \in \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right[\).

Donc d'après une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires l'équation \(g(x) = 0\) possède une unique solution \(\alpha\) dans\( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\)

Des connaissances de cours liées à la continuité sont utiles ici… Il y a 3 hypothèses à vérifier ! (Voir vidéo Théorème des valeurs intermédiaires en cas de doute.)


Une histoire de continuité, de stricte monotonie, sans oublier des valeurs de \(g(0)\) et de \(g \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Question 8

Préciser un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

Grâce à la calculatrice on a :
\(g(0,95) \approx 0,0102\) et \(g(0,96) \approx -0,025\)
Donc \(0,95 < \alpha < 0,96\)

Fais un tableau de valeurs avec la calculatrice par exemple entre \(0\) et \(2\) avec un pas de \(0,2\) pour commencer et situer \( \alpha\).


On affine : faites le tableau entre \(0,8\) et \(1\) : quel pas faut-il choisir ?


On prend un pas de \(0,01\) pour obtenir la valeur de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

Question 9

Tracer la courbe dans un repère.

 

 

 

 

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Pour information et en bonus, la voici sur un intervalle plus grand :

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Choisissez bien les unités.


Utilisez les données du tableau de variations.