Cours Équations différentielles y' = f(x)
Exercice

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


Question 1

Démontrer la propriété : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Soit $f$ une fonction admettant deux primitives $F$ et $G$ sur un intervalle $I$,

On pose pour tout $x \in I$ $H(x) = F(x) - G(x)$. 

$H$ est dérivable sur $I$ en tant que différence de fonction dérivable.

$H'(x) = (F(x) - G(x))'= F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$.

Ainsi, $H$ est une fonction constante sur $I$ car sa dérivée sur $I$ est nulle.

Il existe donc un réel $k$ tel que $H(x) = k$ pour tout $x \in I$.

Ainsi, $F(x) - G(x) = k$ pour tout $x \in I$.

Donc, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. 

On pourra se référer au cours si besoin. 

Question 2

Soient $x_0$ et $y_0$ deux réels données. Déduire de la question précédente qu'il existe une unique primitive  $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0) = y_0$. 

On sait que le fonction $f$ admet des primitives sur $I$.

Ces dernières s'écrivent sous la forme $F(x) + k$ pour tout $x \in I$ et $k$ un réel.

Ainsi, $G(x) = F(x) + k$ pour tout $x \in I$.

La condition $G(x_0) = y_0$ s'écrit : $F(x_0) + k = y_0$ soit encore $k = y_0 - F(x_0)$. 

Ainsi, il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0) = y_0$ : $G(x) = F(x) - F(x_0) + y_0$. 

On se servira de la propriété précédemment démontrée et de la condition imposée sur $G$. 

Question 3

Montrer que $F(x) = x \ln(x) - x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ est une primitive de $f(x) = \ln(x)$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$.

Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$,

$F$ est une fonction dérivable sur cet intervalle en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.

En outre, $F'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x) = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$.

Revenir à la définition d'une primitive.

Question 4

En déduire l'ensemble des primitives de $f(x) = \ln(x)$ sur $\mathbb{R}_+^*$.

On sait que si une fonction $f$ admet une primitive $F$ sur un intervalle $I$, alors toutes ses primitives sont de la forme $F + k$ avec $k \in \mathbb{R}$. 

Ainsi, l'ensemble des primitives de $\ln(x)$ sur $\mathbb{R}_+^*$ sont $x\ln(x) - x + k$ avec $k \in \mathbb{R}$.

On utilisera la propriété du cours

Question 5

Combien existe-t-il de primitives de $f$ telles que $G(2) = 0$ ? Les donner. 

On sait que l'ensemble des primitives de $\ln(x)$ s'écrit $x\ln(x) - x + k$. On a montré précédemment qu'il existe une unique primitive $G$ telle que

$G(x_0) = y_0$ avec $x_0$ et $y_0$ deux réels données.

On doit donc chercher la valeur de $k$ tel que $G(2) = 0$. 

$\iff 2\ln(2) - 2 + k = 0 \iff k = 2 - 2 \ln(2)$.

Ainsi, la primitive de $\ln(x)$ telle que $G(2) = 0$ est $G(x) = x\ln(x) - x + 2 - 2 \ln(2)$.

On utilisera la propriété d'unicité d'une primitive possédant une condition initiale.