Cours Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
Exercice

L'énoncé

Au Poker, on extrait simultanément 5 cartes d'un jeu de 32. Cet ensemble de 5 cartes est appelé une "main".


Question 1

Dénombrer \(N_1\) le nombre de mains différentes possibles.

Le nombre \(N_1\) de choix simultanés de 5 cartes parmi 32 est égal à :

\(N_1 = \begin{pmatrix} 32 \\ 5\end{pmatrix}\)

\(N_1 = 201 376\)

Il y a $201 376$ mains différentes.

C’est un tirage simultané.
On choisit 5 cartes parmi 32.

Question 2

Dénombrer \(N_2\) le nombre de mains de 5 cartes contenant un carré.

Pour constituer une main contenant un carré, il faut choisir le carré ($8$ possibilités) et compléter la main par une 5e carte choisie parmi $28$.

Il y a donc :

\(N_2 = 8\times \begin{pmatrix} 28 \\ 1\end{pmatrix}\)

\(N_2 = 8\times 28\)

\(N_2 = 224\)

Il y a $224$ mains différentes contenant un carré.

Un carré est constitué de 4 cartes identiques.
Combien a-t-on de choix pour faire un carré ?
Combien de cartes doit-on encore tirer ?

Question 3

Dénombrer \(N_3\) le nombre de mains de 5 cartes contenant deux paires distinctes.

Pour constituer une main contenant deux paires distinctes, il faut choisir les deux hauteurs distinctes des deux paires (il y a \(\begin{pmatrix} 8 \\ 2\end{pmatrix}= 28\) combinaisons).

On choisit ensuite deux fois deux cartes parmi les quatre de chaque hauteur, et enfin on complète la main par une cinquième carte choisie parmi 24 (pour n'avoir que deux paires et pas risquer d'obtenir un brelan donc un full).

Il y a donc :
\(N_3 =\begin{pmatrix} 8 \\ 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 4 \\ 2\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}24 \\ 1\end{pmatrix} \)

\(N_3 = 24192\)

Il y a donc $24 192$ mains répondant à ce critère.

Attention on veut deux paires distinctes donc pas de brelan (3 cartes identiques).
Calcule déjà ton nombre de paires différentes.

Question 4

Dénombrer \(N_4\) le nombre de mains de 5 cartes contenant une couleur (5 pique par exemple).

Il y a 4 choix de couleurs. On choisit ensuite 5 cartes parmi les 8 de la couleur :

\(N_4 = 4\times \begin{pmatrix} 8 \\ 5\end{pmatrix} \)

\(N_4 = 224\)

Il y aura $224$ mains correspondant à ce critère.

Combien y a-t-il de couleurs ?
Que doit-on tirer ensuite ?

Question 5

Dénombre \(N_5\) le nombre de mains de 5 cartes contenant une quinte flush (5 cartes de même couleur, se suivant dans l'ordre croissant).

Pour constituer une main de 5 cartes de même couleur, se suivant dans l'ordre croissant, il faut choisir parmi les 4 possibilités de couleurs, les 4 possibilités de suites croissantes :

• (7, 8, 9, 10, V) ; (8, 9, 10, V, D) ; (9,10, V, D, R) ou (10, V, D, R, As).

Il y aura donc :

\(N_5 =4 \times 4 =16 \)

Il y aura $16$ mains correspondant à ce critère.

Cherche les suites possibles.
Combien y en a-t-il ?
Attention, il y a toujours 4 couleurs.