L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Sachant que \(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\pi}{12}\) alors \(\cos(-\frac{\pi}{12})\) est égal à :
\(\dfrac{\sqrt6+ \sqrt2}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt6+ \sqrt2}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt6- \sqrt2}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt6}{4}\)
À quoi est égal \(cos(a - b)\) ?
Ici \(a = \frac{\pi}{6}\) et \( b =\frac{\pi}{4}\)
\(\cos(-\frac{\pi}{12}) =\cos(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}) \)
\(\cos(-\frac{\pi}{12}) =\cos(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{\pi}{4}) +\sin(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{4})\)
\(\cos(-\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2}+ \frac{1}{2}\frac{\sqrt2}{2}\)
Question 2
L'ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de l'équations \(\sin(2x) = \sin(x)\) est :
\(S = \left\{0+2k\pi ; \dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}\right\}\)
\(S =\left\{0 ; \pi; \dfrac{\pi}{3} ; - \dfrac{\pi}{3}\right\}\)
\(S =\left\{0; \dfrac{\pi}{3}\right\}\)
\(S =\left\{0 +2k\pi ; \pi+2k\pi; \dfrac{\pi}{3}+2k\pi ; - \dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}\right\}\)
\(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
Un produit de facteur est nul si et seulement si un des facteurs l'est.
L'équation est équivalente à \(\sin(x)(2\cos(x) – 1) = 0\)
On doit résoudre l'équation sur \(\mathbb{R}\).
On peut aussi utiliser les équations trigonométriques sans passer par \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
\(\sin(2x) = \sin(x) \Leftrightarrow 2\sin(x)\cos(x) – \sin(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(x)(2\cos(x) – 1) = 0\)
\(\sin(2x) = \sin(x) \Leftrightarrow \sin(x) = 0 \) ou \( \cos(x) =\frac{1}{2}\) ou \(\cos(x) = \cos(\frac{\pi}{3})\)
Or, \( \sin(x) = 0 \Leftrightarrow x \equiv 0 [2\pi] \) et \(x \equiv \pi – 0 [2\pi]\)
et \(\cos(x) = \cos(\frac{\pi}{3}) \Leftrightarrow x \equiv= \frac{\pi}{3} [2\pi] \) et \(x \equiv -\frac{\pi}{3}[2\pi]\)
Ainsi l'ensemble des solutions est \(S = \{0 +2k\pi ; \pi+2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi ; - \frac{\pi}{3}+2k\pi\}, k\in \mathbb{Z}\)
Question 3
L'expression \(A(x) = \cos(x + \frac{\pi}{4}) + \sin(x + \frac{\pi}{4})\) est égale à :
\(A(x) = \cos(x)\sqrt2 \)
\(A(x) = \cos(x)+\sqrt2 \)
\(A(x) = \cos(2x+ \frac{\pi}{2})\)
\(A(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}(\cos(x)+\sin(x))\)
Développe chaque terme à l'aide de \(\cos(a + b)\) et \(\sin(a + b)\).
\(\cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})\)
\(A(x) = \cos(x + \frac{\pi}{4}) + \sin(x + \frac{\pi}{4})\\ A(x) = \cos(x)\frac{\sqrt2}{2}- \sin(x)\frac{\sqrt2}{2} + \cos(x)\frac{\sqrt2}{2} + \sin(x)\frac{\sqrt2}{2}\\ A(x) = \cos(x)\sqrt2 \)
Question 4
L'expression \(A(x) = \cos(x) + \sin(x)\) est égale à :
\( \sqrt2 \cos( x+\frac{\pi}{4})\)
\( \sqrt2 \cos( x-\frac{\pi}{4})\)
\( \sqrt2 \sin( x+\frac{\pi}{4})\)
\( \sqrt2 \sin( x-\frac{\pi}{4})\)
Tu peux calculer chaque expression proposée.
Tu peux aussi mettre \(\sqrt2\) en facteur : \(\sqrt2( \frac{1}{\sqrt2}cos(x) +\frac{1}{\sqrt2}sin(x))\)
Attention : \(\cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})= \frac{\sqrt2}{2}\) donc plusieurs écritures possibles !!
\(A(x)= \cos(x)+sin(x)\)
\(\Leftrightarrow A(x)=\sqrt2( \frac{1}{\sqrt2}cos(x) +\frac{1}{\sqrt2}sin(x)) \)
\(\Leftrightarrow A(x)= \sqrt2( \frac{\sqrt2}{2}cos(x) +\frac{\sqrt2}{2}sin(x)) \)
D'une part on obtient:
\(A(x)= \sqrt2(\cos( \frac{\pi}{4})cos(x) +\sin( \frac{\pi}{4})sin(x))\)
\(\Leftrightarrow A(x)= \sqrt2 \cos( x-\frac{\pi}{4})\)
D'autre part on obtient :
\(A(x)= \sqrt2(\sin( \frac{\pi}{4})cos(x) +\cos( \frac{\pi}{4})sin(x)) \)
\(\Leftrightarrow A(x)= \sqrt2 \sin( x+\frac{\pi}{4})\)
Il existe donc deux écritures différentes.
Question 5
Sachant que \(\cos(x) = \dfrac{1}{3}\) et que \( x\) appartient à \(\left[0 ;\dfrac{\pi}{2} \right] \) alors :
\(\sin(2x)= \dfrac{2\sqrt2}{9}\)
\(\sin(2x)= -\dfrac{2\sqrt2}{9}\)
\(\sin(2x)= -\dfrac{4\sqrt2}{9}\)
\(\sin(2x)= \dfrac{4\sqrt2}{9}\)
\(\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x)\)
Déterminer \(\sin(x)\) à l'aide de \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)
\( x\) appartient à \([0 ;\frac{\pi}{2} ] \) si son sinus est positif.
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) donc \(\sin^2(x) = \frac{8}{9}\)
Ainsi \(\sin(x) = \sqrt\frac{8}{9}= \frac{2\sqrt 2}{9}\) ou \(\sin(x)=-\frac{2\sqrt 2}{9}\)
Or comme \(x\in [0 ;\frac{\pi}{2} ]\) alors \(\sin(x)>0 \) et \(\sin(x)=\frac{2\sqrt 2}{9}\)
De plus \(\sin(2x) = \cos(x)\sin(x)\) soit \(\sin(2x) = 2\times\frac{2\sqrt2}{3}\times\frac{1}{3}= 4\frac{\sqrt2}{9}\)