L'énoncé
On considère l'expression \(A(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(A(x) = \cos(x – \frac{3\pi}{4}) + sin(x + \frac{\pi}{4}) \)
Question 1
Calculer \(A(0)\).
\(A(0) = \cos(-\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4})\)
\(A(0) = -\dfrac{\sqrt2}{2} +\dfrac{\sqrt2}{2}\)
\(A(0) = 0\)
Remplace \(x\) par \(0\) .
Question 2
Simplifier l'expression \(A(x)\).
\(A(x) = \cos(x -\frac{3\pi}{4} ) + \sin(x +\frac{\pi}{4} ) \)
\( A(x) = \cos(x)\cos(\frac{3\pi}{4}) + \sin(x)\sin(\frac{3\pi}{4}) + \sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4})\cos(x)\)
\( A(x) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\times \cos(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\times\sin(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\times\sin(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\times\cos(x)\)
\( A(x) = \sqrt2\sin(x)\)
\(\cos(x –\frac{3\pi}{4} ) = \cos(a - b)\)
\(\sin(x +\frac{\pi}{4} ) = \sin(a + b)\)
Question 3
Calculer \( A(-\frac{\pi}{2})\)
\(A(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{5\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{4}) \)
\(A(-\frac{\pi}{2}) = -\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\)
\(A(-\frac{\pi}{2})= -\sqrt2\)
Remplace \(x\) par \(-\frac{\pi}{2}\)
Question 4
Résoudre sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) l'équation \(A(x) = 0\).
\(A(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(x) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x = 0 +2k\pi\) ou \(x =\pi+2k\pi, k\in\mathbb{z}\)
Sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) on obtient pour ensemble des solutions \(S = \{\pi\}\)
Utilise l'expression de \(A(x)\) obtenue à la question 3.
Ensuite il s'agit d'une équation trigonométrique classique à résoudre sur \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\)
Question 5
Résoudre sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) l'équation \(A(x) = - \)1.
On sait que : \(A(x) = \sqrt2\sin(x)\)
Ainsi : \(A(x) = -1 \)
\(\Leftrightarrow \sin(x) = - \dfrac{\sqrt2}{2} \)
\( \Leftrightarrow \sin(x) = \sin(- \frac{\pi}{4})\)
\( A(x) = -1 \)
\(\Leftrightarrow x =- \dfrac{\pi}{4} +2k\pi \) ou \( x = \pi + \dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z} \)
\( \Leftrightarrow x =- \dfrac{\pi}{4}+2k\pi \) ou \( x = \dfrac{5\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}\)
L'ensemble des solutions sur\(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) est :
\(S =\left\{\dfrac{5\pi}{4} \right\}\)
Utilise l'expression de \(A(x)\) obtenue à la question 3.
\(\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\)
Résous l'équation sur \(\mathbb{R}\) puis sur \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) (pour cela aide-toi du cercle trigonométrique).
Question 6
Résoudre sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) l'équation \(A(x) = - \sqrt2\cos(x)\).
On sait que : \(A(x) = \sqrt2\sin(x)\)
\(A(x) = -\sqrt2\cos(x) \Leftrightarrow \sqrt2\cos(x) + \sqrt2\sin(x)= 0\)
\( \Leftrightarrow 2\left[\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x)\right) + \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\right)\right] = 0 \)
\( \Leftrightarrow \cos(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(x)= 0 \)
\( \Leftrightarrow \cos(x -\frac{\pi}{4} ) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) \)
\( \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} [2\pi] \) ou \( x -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2} [2\pi] \)
\( \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi] \) ou \( x = - \dfrac{\pi}{4}[2\pi]\)
L'ensemble des solutions sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) est :
\(S =\left\{ \dfrac{3\pi}{4}\right\}\)
Cette équation équivaut à \(\sqrt2\cos(x) + \sqrt2\sin(x) = 0\)
Ramène toi ensuite à une équation du type \(\cos(a + b) = 0\)
Utilise alors les résultats des équations trigonométriques classiques.
\(\cos(\frac{\pi}{2})=0\)