Cours Orthogonalité, projection orthogonale
Orthogonalité
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Fiche de cours

Orthogonalité

 

I) Orthogonalité de deux droites dans l'espace

 

Propriété :


Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites de vecteurs directeurs $\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{d'}$,

$(D)$ est orthogonale à $(D')$ si et seulement si :

$\overrightarrow{d}.\overrightarrow{d'}=0$

 

Remarque :


Dans l'espace, on utilise le terme orthogonal lorsque le produit scalaire de deux droites est nul.

Le terme perpendiculaire est utilisé lorsque deux droites sont orthogonales et sécantes, c'est à dire qu'elles sont orthogonales et coplanaires.

 

Exemple :

On considère deux droites $(D)$ et $(D')$ de représentations paramétriques : 

$(D)\left \{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t \\ y = 2t \\ z = 4 - t \end{array} \right. (t \in \mathbb{R})$  

et $(D')\left \{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 2+ 2t \\ z = -5t - 1 \end{array} \right. (t \in \mathbb{R})$

$(D)$ et $(D')$ sont-elles orthogonales ?

 

La première étape consiste à déterminer les vecteurs directeurs des deux droites.

Pour rappel, il s'agit des coefficients multiplicateurs de la variable, (ici c'est le réel $t$).

Ainsi, $\overrightarrow{d} \left ( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end

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