Cours Fonction valeur absolue
Exercice d'application

Exercice : Fonction valeur absolue

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 1 + |x| − |4x - 1|$.

1) Calculer $f(3)$, $f(-4)$ et $f(12)$.

2) Justifier que si $x$ est inférieur ou égal à 0, $f(x) = 3x$.

3) En distinguant les cas, exprimer sans valeur absolue $f(x)$ en fonction de $x$.

1) $f(3)=1+3–|12-1|=1+3–11=-7$

$f(-4)= 1+4–|-16-1|=1+4–17=-12$

$f(12) = 1 + 12 - |48 - 1| = 1 + 12 – 47 = -34$

  

2) Si $x<0$, on a : $|x|=-x$ et $4x-1<0$ , donc $|4x-1|=-(4x–1)=-4x+1$.

On peut en déduire que $f(x) = 1 – x – (-4x + 1) = 1 – x + 4x – 1 = 3x$ si $x<0$.

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3) On sait que, si $x<0$, $|x|=−x$ et si $x\geq0$, $|x|=x$.

D’une part, on a : $|4x-1|=−(4x−1)=-4x+1$ si $x<\dfrac{1}{4}$.

D'autre part, $|4x-1|=4x–1$ si $x\geq\dfrac{1}{4}$.


• Si $x \in \left[0; \dfrac{1}{4}\right[$, alors $f(x) = 1 + x − (−4x + 1) = 1 + x + 4x − 1 = 5x$

• Si $x \in]−\infty ; 0[$,  $f(x) = 3x$ (déjà calculé)

• Si $x \in \left[\dfrac{1}{4}; +\infty\right[$, alors  $f(x) = 1 + x − (4x − 1) = 1 + x − 4x + 1 = - 3x + 2$