Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Fonction cube et racine carrée

Partie A

Une mine produit $x$ kg d’un minerai par jour, $x ∈ [ 1 ; 10 ]$ et varie selon les jours. Le coût total d’extraction de ces $x$ kg est donné par $C(x) = 20x$ où $C$ est en euros, et la recette obtenue par ces $x$ kg est donné par $R(x) = x^3$ euros. Le bénéfice associé à la fabrication et à la vente de $x$ kg est donné par $B(x) = R(x) − C(x)$.

Remarque : pour faciliter l’exercice, on considérera qu’on ne peut produire que kilo par kilo, c'est à dire que $x$ est un entier.

1) Calculer $C(3), R(3), B(3)$ et en déduire si une production de $3$kg est rentable.

2) Calculer la masse minimale de minerai pour laquelle la production est rentable.

Partie B

Considérons une nouvelle mine, où nous n’allons nous occuper que du coût d’extraction, donné par la fonction suivante : $C(x) = 20 + 2\sqrt{x − 30}$.

La production minimale est de $30$ kg. Quel production maximale en kilos peut être réalisée sans dépasser $50$ euros de coût d’extraction ?

Partie A

1) $C(3) =20\times 3= 60$ euros; $R(3) =3^3= 27$ euros;

$B(3) = R(3) – C(3) = 27 – 60 = -33$ euros, donc une production de 3 kilos n’est pas rentable.

 
2) La production est rentable à partir du moment où $R(x)\geq C(x)$ soit  $ 20x ≤ x^3$, il faut donc résoudre cette inéquation.

$20x ≤ x^3$

$20x ≤ x^2\times x$

On sait que $x>0$ donc on peut diviser par $x$ sans changer le sens de l"inégalité :

$20 ≤ x^2$

$\sqrt{20} ≤ x$ (en ne retenant que les valeurs positives).

$\sqrt{20}$ n’étant pas un entier, et comme dans l’énoncé il est noté qu’on ne produit que kilo par kilo, on prend l’entier supérieur, c’est-à-dire $5$.

On peut donc dire que la production est rentable lorsque la production égale ou dépasse les $5$kg de minerai.

Partie B

On doit résoudre l’inéquation : $20+2\sqrt{x − 30}≤50$

$2\sqrt{x − 30}≤30$

$\sqrt{x − 30} ≤ 15$

$x- 30 ≤ 225$

$x ≤ 255$

La production ne doit pas dépasser $255$kg.