Cours Stage - Signe de la dérivée et variations
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L'énoncé

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Question 1

On considère le tableau de variation d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur \([ - 3;4]\) :

8554750fc0223d50dfd0edffa517970c9d61f90b.png

\(f '(x) > 0\) sur \(] - 3 ; 0[\)

\(f '(x) > 0\) sur \(] 0 ; 4[\)

\(f '(x) < 0\) sur \(] 0 ; 4[\)

\(f '(x) < 0\) sur \(] -3;0[\)

Quel est le lien entre variation de \(f\) et signe de \(f '(x)\) ?

 

Sur \(]- 3;0[ \) comment varie \(f\) ?

 

Quel est donc le signe de \(f '(x)\) ?

Sur \(]- 3 ; 0[ \ \ f\) est strictement décroissante donc \(f '(x) < 0\).

 

Sur \(]0 ; 4[ \ \ f\) est strictement croissante donc \(f '(x) > 0\).

 

Sur \([- 3 ; 0] \ \ f\) est strictement décroissante mais \(f '(x) \leq 0\).

Question 2

On considère une fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).

La dérivée de la fonction \(f\) admet la courbe représentative ci-dessous.


\(f\) est décroissante sur \(] –\infty; -1]\).

\(f\) est décroissante sur \(] 3 ; +\infty[\).

\(f\) est croissante sur \(] 1;3[\).

\(f\) est croissante sur \(] 1 ; +\infty[\).

Attention, la courbe donnée est celle de la dérivée \(f '\).

Quel est le lien entre variation de \(f\) et signe de \(f '(x)\) ?

Sur \(] –\infty; -1[ \) quel est le signe de \(f '(x)\) ? Donc comment varie \(f\) ?

Sur \(] –\infty; -1[\) : \(f '(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante.

Sur \(] 3 ; +\infty[\) : \(f '(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante.

Sur \(]-1 ; 3[\) : \(f '(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante.

Sur \(]1 ; +\infty[\), \( f '(x)\) n'a pas un signe constant donc on ne peut rien dire des variations de \(f\).

Question 3

On considère une fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) dont la courbe représentative est tracée ci-dessous.

\(f '(x) > 0\) sur \([-2; -2]\)

\(f '(x) > 0\) sur \([-1 ; 2]\)

\(f '(x) > 0\) sur \([0 ; 1]\)

\(f '(x) > 0\) sur \([1 ; 3]\)

Quel est le lien entre variation de \(f\) et signe de \(f '(x)\) ?

 

Sur \([-2; -2] \) comment varie \(f\) ?

 

Quel est donc le signe de \(f '(x)\) ?

 

Et sur \([-1 ; 2] \) ?
\([0 ; 1] \) ?
\([1 ; 3] \) ?

Sur les intervalles \([-2; -2], [-1 ; 2]\) et \([1 ; 3] \ f\) ne garde pas des variations constantes ; on ne peut donc rien dire sur le signe de \(f '(x)\) sur ces intervalles.

 

Sur \([0 ; 1]\), \(f\) est croissante donc \(f '(x) > 0\).

Question 4

On considère une fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) dont la courbe représentative est tracée ci-dessous.

\(f '(x) < 0\) sur \( [0 ; 3]\)

\(f '(x) < 0\) sur \( ]-1; 1,5[\)

\(f '(x) < 0\) sur \( ]-\infty ;-2[\)

\(f '(x) < 0\) sur \( [2 ; +\infty[\)

Quel est le lien entre variation de \(f\) et signe de \(f '(x)\) ?

 

Sur \([0 ; 3] \) comment varie \(f\) ?

 

Quel est donc le signe de \(f '(x)\) ?

 

Et sur \(]-1; 2[ \) ?
\(]-\infty ;-2[ \) ?
\( [2 ; +\infty[ \) ?

Sur \(]-1; 1,5[ : f \) est décroissante donc \(f '(x) < 0\).

 

Sur \(]-\infty ;-2[ : f \) est croissante donc \(f '(x) >0\).

 

Sur \([2;+\infty[ : f\) est croissante donc \(f '(x) > 0\).

 

Sur \([0 ; 3] : f\) n'a pas des variations constantes donc \(f '(x)\) n'a pas non plus un signe constant.