Cours Stage - Variations des fonctions associées
QCM
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L'énoncé

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Question 1

La fonction \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{1}{9 - x^2} \) :

A pour ensemble de définition \(\mathbb{R}\backslash \{-3;3 \}\).
A pour ensemble de définition \(] – 3 ; 3[\).
Est décroissante sur \( ] –\infty; 0]\).
Est décroissante sur \(] –3 ; 0]\).
\(f\) est définie \(\Leftrightarrow 9 - x^2\neq 0\)
Utiliser ensuite les fonctions associées pour trouver les variations de \(f\).
\(f\) est définie \(\Leftrightarrow 9 - x^2\neq 0\)
Mais \(9 - x^2 =0 \Leftrightarrow x^2 =3\) ou \(x^2 = -3 \)
Ainsi : \(\mathscr{D_f}= \mathbb{R}\backslash \{-3;3 \} = ] –\infty ; - 3[ \cup] – 3 ; 3 [\cup ]3 ; +\infty[\).
La proposition 3 ne peut donc être envisageable.
Sur \(] –3 ; 0] : x \mapsto x^2\) est décroissante donc \(x \mapsto 9 - x^2\) est croissante et donc \(f\) est décroissante.

Question 2

La fonction \(f\) définie sur \(\mathscr{D_f}\ = \left] -\infty; \dfrac{7}{2}\right[ \) par \( f(x) =3\sqrt{7 - 2x}\) est :

Décroissante sur \([0,+\infty[\).
Croissante sur \([0,+\infty[\).
Décroissante sur \(\left] -\infty;\dfrac{7}{2}\right[\).
Croissante sur \(\left] -\infty; \dfrac{7}{2}\right[\).
\(x \longmapsto 7-2x \) est une fonction affine affine dont on connait les variations.
Utiliser ensuite les fonctions associées pour trouver les variations de \(f\).
A cause de \(\mathscr{D_f}\) quelles sont les propositions inenvisageables ?
Sur \(\mathscr{D_f}=] -\infty; \dfrac{7}{2}[ \) :
\(x \longmapsto 7-2x \) est décroissante (fonction affine) donc aussi et \(f\) est donc décroissante \(x \longmapsto \sqrt{7-2x} \)
Les propositions 1 et 2 sont inenvisageables car \(f\) n'est pas définie sur \([ 0 ; + \infty[\)

Question 3

Soit \(u\) une fonction croissante sur un intervalle \(I\) et strictement positive sur \(I\).

Quelles fonctions ont les mêmes variations que \(u\) sur \(I\) ?

\(4u - 1\)
\( 5- \dfrac{4}{2u}\)
\(-6 \sqrt{u}+11 \)
\(\dfrac{1}{\sqrt u+3 }\)
Quelles sont les variations de \(u\) sur \(I\) ?
Utilise ensuite les fonctions associées pour trouver les variations des fonctions proposées.
Sur \(I\) : \(u\) est croissante donc \(4u\) est croissante et \(4u - 1 \) aussi.
Sur \(I\) : \(u\) est croissante donc \(\dfrac{4}{2u}\) est croissante et \(-\dfrac{4}{2u}\) et \(5-\dfrac{4}{2u}\) sont décroissantes.
Sur \(I\) : \(u\) est décroissante donc \(\sqrt u \) aussi et \(-6\sqrt u+11\) est croissante.
Sur \(I\) : \(u\) est croissante et positive donc \(\sqrt u + 3 \) est croissante. Comme \(\sqrt u+3\) est non nulle \(\dfrac{1}{\sqrt{u}+3}\) est croissante.

Question 4

Soit \(u\) une fonction dont on donne ci-dessous le tableau de variations sur \(\mathscr{D_u}=[-5 ; 2]\).

Quels sont les tableaux de variations corrects parmi ceux proposés ?
Utilise ensuite les fonctions associées pour trouver les variations des fonctions proposées.
\(\sqrt u \) est définie pour \( u\) positive.
Pense à vérifier les valeurs des images.
\(\large\frac{1}{u}\) est définie pour \( u\) non nulle.
\(u \) est croissante sur \(\mathscr{D_u}\)donc \(u +5\) aussi. De plus les images sont correctes : \( u(-5) + 5 = 47\) etc.
Proposition 1 correcte.
\(u \) est décroissante sur \(\mathscr{D_u}\) donc \(- 2u \) est croissante.
En revanche les images sont incorrectes car \(-2u(-5) = -84 \) mais \(-2u(2) = -16\) et ce n'est pas la valeur du tableau (\(16\))
Proposition 2 incorrecte.
\(\frac{1}{u} \) est définie pour \(u\) non nulle donc sur \( I = [-5 ; -3[ \cup ]-3 ; 2] \).
Proposition 3 fausse.
\(\sqrt u \) est définie pour \(u\) positive donc sur \( I =[-5 ; -3] \) et non sur \( [0; 2] \).
Proposition 4 fausse.

Question 5

La fonction \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{-2}{\sqrt{x^2 - x - 6}}\) :

Est définie sur \(\mathscr{D_f}=]-\infty ; - 2[ \cup ]3 ; +\infty[ \).
Est définie sur \( \mathscr{D_f}=[-2 ; 3] \).
Est croissante sur \(]3 ; +\infty[\).
Est croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
\(x^2 - x - 6\) est un polynôme ; quel est son signe ?
Utiliser ensuite les fonctions associées pour trouver les variations de \(f\) et chercher si elle admet un maximum ou un minimum.
A quelle(s) condition(s) \(f\) est-elle définie ?
A cause de \(D_f\), quelle proposition est inenvisageable ?
\(f\) est définie si et seulement si \(x^2 - x - 6 > 0\)
\(x^2 - x - 6 \) est un polynôme dont le discriminant est \(\Delta =25\) et qui admet deux racines : \(- 2\) et \(3\).
Il est positif (donc du signe de \(a =1\)) à l'extérieur des racines donc sur \(]-\infty ; - 2[ \cup ]3 ; +\infty[ \)
Sur \(]3 ; +\infty[ \)
\(x \longmapsto x^2 - x - 6 \) est croissante donc :
\(x \longmapsto \sqrt{x^2 - x - 6 } \) aussi.
\(x \longmapsto \dfrac{2}{\sqrt{x^2 - x - 6 }} \) est décroissante donc \(x \longmapsto - \dfrac{2}{\sqrt{x^2 - x - 6 }} \) est donc croissante.
Inutile d'envisager la proposition 4 car \(f\) est non définie sur \(]0 ; +\infty[\)