Cours Stage - Produit scalaire, propriétés
QCM
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 0 \\ 4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}\).

Alors, \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\) vaut :

$8$

$-8$

$-1$

$-7$

Quel renseignement as-tu sur les vecteurs ? Leurs normes ? L'angle qu'ils forment ? Leurs coordonnées ?


Utilise alors la formule appropriée.


Attention aux erreurs de signes !

On te donne les coordonnées des vecteurs ; tu ne dois donc pas hésiter sur la formule à utiliser.


\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\times (-1) + 4\times 2\) donc \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=8 \)

Question 2

 Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-3\\ \sqrt 7 \end{pmatrix}\).

Quelles sont la ou les propositions correctes ?

\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-8\sqrt7\)

\(\overrightarrow{u}= -2\overrightarrow{v}\)

\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux.

\(||\overrightarrow{u}||= \sqrt2 ||\overrightarrow{v}|| \)

Que peut-on calculer lorsqu'on a les coordonnées de deux vecteurs ?


Calcule le produit scalaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\). Calcule aussi la norme de chaque vecteur.

\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= -12 + 4\sqrt7 \) donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas orthogonaux (proposition 3)
Attention \( -12 + 4\sqrt7 \neq -8\sqrt 7 \) par contre \( (-12 + 4)\sqrt7 = -8\sqrt 7 \)


Pour avoir \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{v}\) il faudrait que \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \end{pmatrix}\)


A priori seule la proposition 4 est correcte. Vérifions le :
\(||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(4^2+4^2)}\) soit \(||\overrightarrow{u}|| = 4\sqrt 2\). De même \(||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{(-3)^2+\sqrt 7 ^2}= 4\).
Et donc on a bien \(||\overrightarrow{u}|| =\sqrt2||\overrightarrow{v}||\)

Question 3

Soient trois points distincts \(A\), \(B\) et \(C\) tels que \(AB = 5\) et \(AC = 2\) et (\(\widehat{BAC})=60°\).

Alors \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) vaut :

\(\dfrac{5}{2}\)

\(\dfrac{5\sqrt3}{2}\)

\(5 \)

$-5$

Quel renseignement as-tu sur les vecteurs ? Leurs normes ? L'angle qu'ils forment ? Leurs coordonnées ?


Utilise alors la formule appropriée.


\(\cos(60°)= \frac{1}{2}\)

On utilise la valeur exacte de \(\cos(60°)\) à savoir \(\frac{1}{2}\) et on obtient :

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= ||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||\times \cos(\widehat{BAC})\)

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 10 \times \frac{1}{2}\) soit une fois simplifiée : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=5 \)

Question 4

Avec les données de la figure ci-dessous on a :

\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}= 77\)

\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}= 66\)

\(\cos( \widehat{ACB})= \dfrac{6}{7}\)

\(\cos( \widehat{ACB})= \dfrac{7}{11}\)

Quel renseignement as-tu sur les vecteurs ?


Avant d'utiliser la définition utilisant le projeté orthogonal, vérifie que tes vecteurs ont bien la même origine.


Ici, on projette le point \(A \) sur la droite \((BC)\).


L'angle \(\widehat{ACB} \) est le même que l'angle \(\widehat{ACH}\) . On utilise ici la définition du cosinus vue en classe de 4e dans un triangle rectangle !

\(H\) étant le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \((BC)\) on a :
\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}= \overrightarrow{CH}.\overrightarrow{CB}\)
Comme \(\overrightarrow{CH}\) et \(\overrightarrow{CB}\) sont colinéaires et de même sens alors :
\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = CH \times CB\) avec \(CH = 11-5 = 6\) soit :
\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 11\times 6 =66\)


Dans le triangle \(ACH\) rectangle en \(H\) on a : \(\cos( \widehat{ACH})=\cos( \widehat{ACB})= \frac{6}{7}\) (côté adjacent/hypoténuse)

Question 5

\(EFGH\) est un parallélogramme. Avec les données de la figure ci-dessous on a :

\(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}= -\frac{17}{2}\)
\(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}=-14\)
\(\cos( \widehat{FGH}) = -\frac{17}{28}\)
\(\cos( \widehat{FGH}) = -\frac{6}{17}\)
Ici pas de coordonnées ni de projeté orthogonal. Par contre tu connais la norme des vecteurs.
Il va aussi falloir trouver le cosinus de l'angle \(\widehat{FGH}\)
\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \frac{1}{2}(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-....)\) donc \(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}= \frac{1}{2}(||\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GH}||^2-....)\)
De plus \(\overrightarrow{GF} +\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GE}\) d'après la règle du parallélogramme.
Maintenant que tu connais la valeur de \(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}\), utilise une autre définition du produit scalaire pour trouver le cosinus de l'angle \(\widehat{FGH}\) en résolvant une équation.
\(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}= \frac{1}{2}(||\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GH}||^2-||\overrightarrow{GF}||^2 -||\overrightarrow{GH}||^2)\)

On sait que \(\overrightarrow{GF} +\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GE}\) d'après la règle du parallélogramme.
Ainsi :
\(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}= \frac{1}{2}(||\overrightarrow{GE}||^2- ||\overrightarrow{GF}||^2 -||\overrightarrow{GH}||^2)\)
\(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}= \frac{1}{2}(36-4-49)\)
\(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}= -\frac{17}{2}\)

D'une autre part :\(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH} = ||\overrightarrow{GF}||\times ||\overrightarrow{GH}||\times \cos( \widehat{FGH})\)
Soit : \(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}=14\times \cos( \widehat{FGH})\)
D'autre part : \(\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{GH}= -\frac{17}{2}\)


Par conséquent :
\(14 \cos( \widehat{FGH})=-\frac{17}{2} \Leftrig