Cours Stage - Produit scalaire, propriétés

Exercice - Produit scalaire et relation de Chasles

L'énoncé

\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB = 4\) et \(AD = 2\). \( E \) est le point de \([DC]\) tel que \(DE = 1\).

Les droites \((AE)\) et \((BD)\) se coupent en \(H\) et \(N\) est le milieu de \([AB]\).


Question 1

Décomposer \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{BD}\) à l'aide de la relation de Chasles puis calculer

\(\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD}\).

D'après la relation de Chasles on a :

\(\overrightarrow{AE}= \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}\)

\(\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)

Ainsi : \(\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD} = ( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}).(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})\)

Soit \(\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}.\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{CD}\).


Or, \(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}= 0 \) car \((BC)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires Idem pour \(\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{BC} \)

Donc, \(\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD} = BC^2 - \overrightarrow{DE}.\overrightarrow{CD}= BC^2 -DE\times CD \) car \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires de sens contraires.

Ainsi : \(\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD}=2^2-1\times 4 =0\)

Conclusion :

\(\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD}=0\)

Utiliser des vecteurs qui sont orthogonaux afin que les produits scalaires s'annulent.

Question 2

Que peut-on en conclure pour les droites \((AE)\) et \((BD)\) ?

On en déduit que les vecteurs \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{BD}\) sont orthogonaux donc que les droites \((AE)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires.

Que signifie \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 0\) ?

Question 3

En calculant de deux manières le produit scalaire \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}\), trouver la longueur \(BH\).

Première manière :

D'après la relation de Chasles on a : \(\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)

Donc \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD} = BA^2 +\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}\)

Comme les droites \((BA)\) et \((AD)\) sont perpendiculaires \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}=0\) et : \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD} =16\)

Seconde manière :

Comme les droites \((AE)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires, \( H \) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BD)\) et donc :

\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BD} =BH\times BD=16\) (colinéaires de même sens)

Ainsi :

\( BH\times BD = 16\). On calcule \(BD\) à l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(ABD\) et on a :

\(BD = \sqrt20 = 2\sqrt5\)

Donc \(BH = \dfrac{16}{2\sqrt5} = \dfrac{8}{\sqrt5} = \dfrac{8\sqrt5}{5} \)

La première manière t'est donnée dans la question 1 : relation de Chasles.


Pour la seconde manière il faut trouver une expression du produit scalaire dans laquelle intervient la longueur \(BH\).


On a montré dans la question 1 que les droites \((AE)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires. \(H\) est donc le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BD)\) .

Question 4

Montrer que \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HN}\)

\(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HN} +\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{HN}+ \overrightarrow{NB}\) (Chales)

\(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB} =2 \overrightarrow{HN} +\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}\)

Comme \(N\) est le milieu de \([AB]\), alors \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}\) et donc

\(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HN}\)

\(N\) est le milieu de \([AB]\); donc \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}\)

Question 5

Sachant que \(HA =\dfrac{4\sqrt5}{5} \) montrer que \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} =\dfrac{8}{5}\)

On a montré que \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HN}\) donc \(\overrightarrow{HN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HB} \)

Ainsi,

\(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} = (\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HB}).\overrightarrow{HA}\)

\(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} = \dfrac{1}{2}HA^2 + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HA} \)

Or, \((HB)\) et \((HA)\) sont perpendiculaires donc \(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HA}=0 \).

Donc, \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} = \dfrac{1}{2}HA^2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4\sqrt5}{5} \right)^2 =\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5} \)

On a montré que \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HN}\) donc \(\overrightarrow{HN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HB} \)


Ainsi \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} = (\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HB}).\overrightarrow{HA} \)

Question 6

Justifier que \(HN = 2\).

Le triangle \(AHB\) étant rectangle en \(H\), le point \(N\), milieu de l'hypoténuse \([AB]\) est le centre de son cercle circonscrit et donc \(NA = NB = NH = \dfrac{1}{2}AB\).

Ainsi : \( HN = 2\)

Quelle est la nature du triangle \(AHB \) ?


Que représente le point \(N\) milieu du segment \([AB]\) ?

Question 7

Calculer \(\cos(\widehat {AHN})\) et en déduire une valeur approchée de l'angle \(\widehat {AHN}\) au degré près.

D'une part \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} = \dfrac{8}{5}\)

D'autre part \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} = HN\times HA\times \cos(\widehat {AHN})\)

soit : \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} =\dfrac{8\sqrt5}{5} \cos(\widehat {AHN})\)

Par conséquent :

\(\dfrac{8\sqrt5}{5} \cos(\widehat {AHN})=\dfrac{8}{5} \Leftrightarrow \cos(\widehat {AHN}) = \dfrac{1}{\sqrt5}\)

La calculatrice nous donne \(\widehat {AHN}\approx 63°\)

\(\cos(\widehat {AHN})\) intervient dans le produit scalaire \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA}\)


On a donc deux expressions de ce produit scalaire. D'une part celle avec le cosinus et d'autre part la valeur trouvée à la question 5.


Poser l'équation et la résoudre.