L'énoncé
Donner pour chaque cas, un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite donnée :
Question 1
$(d) : 2x + 3y + 5 = 0$
L’équation de la droite est du type $ax + by + c = 0$. (avec $a$ et $b$ non nuls simultanément)
Un vecteur directeur à une droite est du type $\vec{u}\binom{-b}{a}$
Ici, on obtient le vecteur directeur $\vec{u}\binom{-3}{2}$
Un vecteur normal à une droite est du type $\vec{n}\binom{a}{b}$
Ici, on obtient le vecteur normal $\vec{n}\binom{2}{3}$
Souvenez-vous il existe une formule qui donne directement un vecteur normal à la droite. Et une autre pour le vecteur directeur
Question 2
$(e) : 3x -7y = 0$
L’équation de la droite est du type $ax + by + c = 0$. (avec $a$ et $b$ non nuls simultanément)
Un vecteur directeur à une droite est du type $\vec{u}\binom{-b}{a}$
Ici, on obtient le vecteur directeur $\vec{u}\binom{7}{3}$
Un vecteur normal à une droite est du type $\vec{n}\binom{a}{b}$
Ici, on obtient le vecteur normal $\vec{n}\binom{3}{-7}$
Souvenez-vous il existe une formule qui donne directement un vecteur normal à la droite. Et une autre pour le vecteur directeur
Question 3
$(f) : -10x -12y +7 = 0$
L’équation de la droite est du type $ax + by + c = 0$. (avec $a$ et $b$ non nuls simultanément)
Un vecteur directeur à une droite est du type $\vec{u}\binom{-b}{a}$
Ici, on obtient le vecteur directeur $\vec{u}\binom{12}{-10}$ ou encore $\vec{u'}\binom{6}{-5}$
Un vecteur normal à une droite est du type $\vec{n}\binom{a}{b}$
Ici, on obtient le vecteur normal $\vec{n}\binom{-10}{-12}$ ou encore $\vec{n'}\binom{5}{6}$
Souvenez-vous il existe une formule qui donne directement un vecteur normal à la droite.
Question 4
Les droites $(d)$ et $(e)$ sont-elles perpendiculaires ?
Calculons le produit scalaire des vecteurs directeurs pour répondre à la question.
Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\binom{-3}{2}$
Un vecteur directeur de $(e)$ est $\vec{v}\binom{7}{3}$
On a : $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$
$\vec{u}.\vec{v}=-3\times7 + 2\times 3$
$\vec{u}.\vec{v}=-21+6$
$\vec{u}.\vec{v}=-15\neq0$
Le produit scalaire n'est pas nul donc les droites ne sont pas perpendiculaires.
Les droites sont perpendiculaires si leurs produits scalaires sont orthogonaux.
Question 5
Les droites $(e)$ et $(f)$ sont-elles perpendiculaires ?
Calculons le produit scalaire des vecteurs directeurs pour répondre à la question.
Un vecteur directeur de $(e)$ est $\vec{u}\binom{7}{3}$
Un vecteur directeur de $(f)$ est $\vec{v}\binom{6}{-5}$
On a : $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$
$\vec{u}.\vec{v}=7\times6 + 3\times (-5)$
$\vec{u}.\vec{v}=42-15$
$\vec{u}.\vec{v}=27\neq0$
Le produit scalaire n'est pas nul donc les droites ne sont pas perpendiculaires.