Cours Stage - Vecteur normal à une droite

Vecteur normal, vecteur directeur d’une droite

L'énoncé

Donner pour chaque cas, un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite donnée :


Question 1

$(d) : 2x + 3y + 5 = 0$

L’équation de la droite est du type $ax + by + c = 0$. (avec $a$ et $b$ non nuls simultanément)

Un vecteur directeur à une droite est du type $\vec{u}\binom{-b}{a}$

Ici, on obtient le vecteur directeur $\vec{u}\binom{-3}{2}$

 

Un vecteur normal à une droite est du type $\vec{n}\binom{a}{b}$

Ici, on obtient le vecteur normal $\vec{n}\binom{2}{3}$

Souvenez-vous il existe une formule qui donne directement un vecteur normal à la droite. Et une autre pour  le vecteur directeur

Question 2

$(e) : 3x -7y = 0$

L’équation de la droite est du type $ax + by + c = 0$. (avec $a$ et $b$ non nuls simultanément)

Un vecteur directeur à une droite est du type $\vec{u}\binom{-b}{a}$

Ici, on obtient le vecteur directeur $\vec{u}\binom{7}{3}$

 

Un vecteur normal à une droite est du type $\vec{n}\binom{a}{b}$

Ici, on obtient le vecteur normal $\vec{n}\binom{3}{-7}$

Souvenez-vous il existe une formule qui donne directement un vecteur normal à la droite. Et une autre pour le vecteur directeur

Question 3

$(f) : -10x -12y +7 = 0$

L’équation de la droite est du type $ax + by + c = 0$. (avec $a$ et $b$ non nuls simultanément)

Un vecteur directeur à une droite est du type $\vec{u}\binom{-b}{a}$

Ici, on obtient le vecteur directeur $\vec{u}\binom{12}{-10}$ ou encore $\vec{u'}\binom{6}{-5}$

  

Un vecteur normal à une droite est du type $\vec{n}\binom{a}{b}$

Ici, on obtient le vecteur normal $\vec{n}\binom{-10}{-12}$ ou encore $\vec{n'}\binom{5}{6}$

Souvenez-vous il existe une formule qui donne directement un vecteur normal à la droite.

Question 4

Les droites $(d)$ et $(e)$ sont-elles perpendiculaires ?

Calculons le produit scalaire des vecteurs directeurs pour répondre à la question.

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\binom{-3}{2}$

Un vecteur directeur de $(e)$ est $\vec{v}\binom{7}{3}$

On a : $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$

$\vec{u}.\vec{v}=-3\times7 + 2\times 3$

$\vec{u}.\vec{v}=-21+6$

$\vec{u}.\vec{v}=-15\neq0$

Le produit scalaire n'est pas nul donc les droites ne sont pas perpendiculaires.

Les droites sont perpendiculaires si leurs produits scalaires sont orthogonaux.

Question 5

Les droites $(e)$ et $(f)$ sont-elles perpendiculaires ?

Calculons le produit scalaire des vecteurs directeurs pour répondre à la question.

Un vecteur directeur de $(e)$ est $\vec{u}\binom{7}{3}$

Un vecteur directeur de $(f)$ est $\vec{v}\binom{6}{-5}$

On a : $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$

$\vec{u}.\vec{v}=7\times6 + 3\times (-5)$

$\vec{u}.\vec{v}=42-15$

$\vec{u}.\vec{v}=27\neq0$

Le produit scalaire n'est pas nul donc les droites ne sont pas perpendiculaires.