Cours Factorisation de $x^n-a^n$ par $x-a$

Exercice - Factorisation d'un polynôme de la forme $x^n-a^n$

L'énoncé

Factoriser / développer les polynômes suivants.


Question 1

Factoriser $P_1(x)=x^5-3^5$

D'après la formule du cours, on a :

$P_1(x)=(x-3)(3^0x^4+3^1x^3+3^2x^2+3^3x+3^4)$

$P_1(x)=(x-3)(x^4+3x^3+9x^2+27x+81)$

Question 2

Factoriser $P_2(x)=x^4-4^4$

$P_2(x)=(x-4)(x^3+4x^2+16x+64)$

Question 3

Développez simplement $P_3(x)=(x-7)(x^5+7x^4+49x^3+343x^2+2401x+16807)$

Les puissances de $7$ sont bien rangées dans l'ordre donc 

$P_3(x)=x^6-7^6$.

 

Question 4

Factoriser $P_4(x)=x^3-1331$

Il faut trouver la valeur de $a$. Résoudre $x^3=1331$ d'où $x=11$ d'après la calculatrice.

Ainsi : $P_4(x)=x^3-11^3$ et 

$P_4(x)=(x-11)(x^2+11x+121)$.

Question 5

Factoriser $P_5(x)=160x-10x^5$

$P_5(x)=160x-10x^5$

$P_5(x)=10x(16-x^4)$

$P_5(x)=-10x(x^4-16)$

$P_5(x)=-10x(x^4-2^4)$

$P_5(x)=-10x(x-2)(x^3+2x^2+4x+8)$

 

 

 

Factoriser $P_5$ par $10x$