Cours Stage - Factorisation de polynômes de second degré

Factorisation d'un polynôme du second degré

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Fiche de cours

Factorisation d'un polynôme du second degré

 

Rappels

 

Soit $P$ un polynôme du second degré définit pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = ax^2 +bx + c$ avec $a, \, b, \, c$ trois réels ($a \neq 0$). 

Si $\Delta = 0$ alors $P(x) = a(x - x_0)^2$  avec $x_0$ la racine double de $P$.

Si $\Delta > 0 $ alors $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$  avec $x_1$ et $x_2$ les racines distinctes de $P$.

Si $\Delta < 0 $ alors $P$ n'admet pas de forme factorisée. 

 

Propriétés

 

1) Si $\Delta > 0$ alors $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$. 

 

2) Si $a + b + c = 0$, alors $1$ est une racine du polynôme. 

Exemple 

On suppose que $P(x) = -2x^2  -4x + 6$. 

On remarque ici que $a + b + c = -2 - 4 + 6 =0$, donc $1$ est une racine du polynôme.

Or $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -3$. Ainsi $1 \times x_2 = x_2 = -3$.

Ainsi, la forme factorisée de $P$ est $P(x) = -2(x -1)(x - (-3)) = -2(x - 1)(x + 3)$. 

 

3) Si $c = 0$ alors $0$ est une racine du polynôme car $P(x) = x(ax + b)$ dans ce cas.

Exemple 

On suppose ici que $P(x) = 3x^2 - 4x$.

On remarque que $c = 0$, donc $P(0) = 0$. 

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