Cours Strage - Factorisation de $x^n−1$ par $x−1$

Exercice - Factorisation des polynômes du type $x^n-1$

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


Question 1

La courbe $C_f$ est la courbe représentative de la fonction $f(x)=x^2$.

Déterminer la fonction associée à la courbe $C_g$ représentant la fonction $g(x)=x^n-1$ avec $n$ que l'on déterminera.

fonction_x4

La fonction est paire donc la puissance de $x$ aussi, la valeur de $g(0)=-1$  donne une fonction du type $g(x)=x^n-1$.

La fonction $g$ est définie par $g(x)=x^4-1$ car on remarque que $g(2)=15=2^4-1$.

Utiliser le point de coordonnées $(2;15)$

 


Regarder la parité de la fonction $g$. Ici la fonction est paire.


Remarquer que $g(2)=15$ 

Question 2

Factoriser le polynôme défini par la fonction $g$ trouvée précédemment .

$P(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1)$.

Question 3

Donner la forme développée de  $P(x)=(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$.

La forme est $P(x)=x^6-1$.

Remarquer qu'il n'y a que des 1 pour coefficients des puissances des $x$.

Question 4

Peut-on mettre le polynôme $p(x)=(x-1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$ sous la forme $x^n-1$?

 

Non, tous les coefficients devant les puissances de $x$  ne sont pas égaux à $1$.

Question 5

Donner la forme factoriser de $P(x)=x^7+1$.

Une racine évidente est $-1$ , il faut donc factoriser par $(x+1)$.

Il faut alors résoudre le système associé à :$(x+1)(ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ec^2+fx+g)=x^7+1$.

Le système est: $\left \{ \begin{array}{rccc} a& = &1\\ a+b& = &0\\ c+b& = &0\\ c+d& = &0\\  d+e&=&0 \\ e+f& = &0\\ f+g& = & 0   \\g& = &1\\  \end{array} \right.$ 

Il se résout facilement en :  $\left \{ \begin{array}{rccc} a& = &1\\ b& = &-1\\ c& = &1\\ d& = &-1\\  e&=&1 \\ f& = &-1\\ g& = &1\\  \end{array} \right.$ 

Il faut alterner le signe entre les puissances paires et impaires de $x$.

Conclusion : $x^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)$

On peut écrire $(x+1)(ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ec^2+fx+g)=x^7+1$ et résoudre le système associé.


Le système associée est : $\left \{ \begin{array}{rccc} a& = &1\\ a+b& = &0\\ c+b& = &0\\ c+d& = &0\\  d+e&=&0 \\ e+f& = &0\\ f+g& = & 0   \\g& = &1\\  \end{array} \right.$