Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Loi de probabilité et espérance

On va analyser un jeu de fléchettes sur cible, partagée en $4$ secteurs. Il y a un secteur avec $5$ points, un avec $3$ points, et les deux derniers ne valent pas de point.

On lance trois fléchettes au maximum. On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

Le joueur mise $2$ euros par partie. Il gagne la partie s'il obtient un total supérieur ou égal à $8$ points.

La probabilité qu'il gagne la partie en $2$ lancers est de $\dfrac{11}{36}$ et celle qu'il gagne la partie en $3$ lancers est de $\dfrac{13}{36}$.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit $5$ euros. S'il gagne en trois lancers, il reçoit $1$ euro. S'il perd, il ne reçoit rien.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie.

 

1) Déterminer la loi de probabilité de $X$.

2) Calculer $E(X)$ et commenter cette valeur.

1) $X$ prend les valeurs $3$, $1$ et $-2$. En effet, même si il peut gagner $5$ et $3$ euros, il mise au départ $2$ euros à chaque partie.

Maintenant, on peut déterminer les probabilités.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit $3$ euros. $X$ prend donc la valeur $3$. Comme la probabilité de gagner en deux lancers est de $\dfrac{11}{36}$, alors $p(X = 3) = \dfrac{11}{36}$.

Si le joueur gagne en trois lancers, il reçoit $1$ euros. $X$ prend donc la valeur $1$. Comme la probabilité de gagner en deux lancers est de $\dfrac{13}{36}$, alors $p(X = 1) = \dfrac{13}{36}$.

D’après les secteurs, il est impossible d’atteindre $8$ points en un lancer. Donc la troisième issue est que le joueur n’atteigne pas $8$ points en maximum $3$ lancers, donc il perd. $X$ prend la valeur $-2$. La probabilité de perdre est $1 - \dfrac{11}{36} - \dfrac{13}{36} = \dfrac{1}{3}$. On a donc $p(X = -2) = \dfrac{1}{3}$.

 

 

2) L’espérance vaut $E(X) = -2 \times \dfrac{1}{3} + 1 \times \dfrac{13}{36} + 3 \times \dfrac{11}{36} = \dfrac{22}{36}$.

C’est la valeur que prend la variable aléatoire $X$ en moyenne. Le joueur gagnera donc en moyenne environ $61$ centimes. Le jeu est donc favorable au joueur.