Cours Stage - Suites numériques, variations
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Pour tout entier \(n\), on considère la suite \(u_n = 2n^2-3n+4\).

\(u_0 = 4\)
\(u_2 = 6\)
\(u_3 = 12\)
\((u_n)\) est définie par récurrence.
Revoir la vidéo auparavant.
Remplacer \(n\) par 0
Puis remplacer \(n\) par $2$ puis $3$
\(u_0 = 0+0+4 =4\)
\(u_3 = 2\times3^2-3\times3+4 = 13\)
\((u_n)\) n’est pas définie par récurrence. C’est ici la forme explicite : La suite \((u_n)\) est définie directement par son terme général :\(u_n=f(n)\)

Question 2

Pour tout entier \(n\), on considère la suite \(u_n = \sqrt{n^4+1}\).

\(u_0 = 1\)
\(u_2 = 17\)
\(u_3 = \sqrt{82}\)
\((u_n)\) est définie par récurrence.
Revoir la vidéo auparavant.
Remplacer \(n\) par $0$
Puis remplace \(n\) par $2$ puis $5$
\(u_2 = \sqrt{2^4+1} = \sqrt{17}\)
\((u_n)\) n’est pas définie par récurrence. C’est ici la forme explicite : La suite \((u_n)\) est définie directement par son terme général :\(u_n=f(n)\)

Question 3

Pour tout entier \(n\), on considère la suite : \(u_{n+1} = 2u_n +4\) et \(u_0= -4\).

\((u_n)\) est définie par récurrence.
\(u_1\) est le premier terme de la suite.
\(u_1\) est le deuxième terme de la suite
\(u_2 = 16\)
Revoir la vidéo de cours.
\(u_{n+1}\) est ici exprimé en fonction de \(u_n\).
On ne peut calculer \(u_2\) sans connaître \(u_1\).
Il s’agit bien d’une suite définie par récurrence car on exprime \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
\(u_1\) est le deuxième terme le la suite. Le premier terme est \(u_0\)
D’autre part :
\(u_1 = 2u_0 + 4 = 2\times(-4)+4 = -4\)
\(u_2 = 2u_1 + 4 = 2\times(-4)+4 = -4\)
On pourrait montrer qu'il s'agit içi d'une suite constante, dont tous les termes sont égaux à \(-4\)

Question 4

Pour tout entier n, on considère la suite : \(u_{n+1} = 2u_n^2 -1\) et \( u_0= 2\).

\((u_n)\) est définie par récurrence.
\(u_0\) est le premier terme de la suite
\(u_1 = 7\)
\(u_2 = 99\)
Revoir la vidéo de cours.
\(u_{n+1}\) est ici exprimé en fonction de \(u_n\).
On ne peut calculer \(u_2\) sans connaître \(u_1\).
Il s’agit bien d’une suite définie par récurrence car on exprime \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Le premier terme est \(u_0\)
D’autre part :
\(u_1 = 2u_0^2-1 = 2\times 2^2-1 =7\)
\(u_2 = 2u_1^2-1 = 2\times 7^2 - 1 = 97\)

Question 5

Pour tout entier $n$, on considère la suite : \(u_n = 6(-1)^n\).

\(u_0 = -6\)
\(u_8 = 6\)
\(u_{53} =- 6\)
\((u_n)\) est définie par récurrence.
Revoir la vidéo auparavant.
Remplacer \(n \) par $0$
Comment sont les termes de la suite lorsque $n$ est pair ? et impair ?
On a : \(u_0 = 6(-1)^0 = 6\)
Si \(n\) est un entier pair, on peut l’écrire sous la forme \(n= 2k\) avec \(k\) entier.
Ainsi :
\( 6(-1)^n = 6(-1)^{2k} =6 ((-1)^2)^k = 6\times1^k =6\)
Tous les termes de la suite de puissance paire sont égaux à \(6\).
Si $n$ est un entier impair, on peut l’écrire sous la forme \(n= 2k+1\) avec \(k\) entier. Ainsi :
\( 6(-1)^n = 6(-1)^{2k+1} = 6((-1)^{2k})\times (-1)^1= 6\times (-1) =-6\)
Tous les termes de la suite de puissance impaire sont égaux à \(-6\).
On dit que cette suite est alternée. Elle est souvent utilisée en mathématiques.