Cours Stage - Suites numériques, variations
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L'énoncé

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Question 1

Pour tout entier \(n\), on considère la suite : \(u_n = n^2-1\).

La suite est minorée.
La suite est majorée.
La suite est bornée.
La suite est croissante.
Revoir la vidéo si besoin.
Utiliser la calculatrice pour conjecturer les propriétés de la suite.
On sait que pour tout entier \(n\),
\(n^2-1 \geq -1\) donc on a :
\(u_n\geq-1\).
Le nombre \(-1\) est donc un minorant de cette suite. Lorsque \(n\) tend vers l’infini, le nombre \(n^2 -1\) tend vers \(+\infty\). La suite n’est donc pas majorée. N’étant pas majorée, elle n’est pas bornée.

Étudions le sens de variations de cette suite. Pour cela la méthode consiste à étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\). On a :
\(u_{n+1}-u_n= (n+1)^2-1 –(n^2-1)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n= n^2+2n+1-1-n^2+1\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n= 2n+1\)
\(n\) est un entier donc \(u_{n+1}-u_n\geq0\)
La suite est donc croissante.

Question 2

Pour tout entier \(n\) non nul, on considère la suite : \(u_n = \dfrac{1}{n} -5\).

La suite est minorée.
La suite est majorée.
La suite est bornée.
La suite est décroissante.
Revoir la vidéo si besoin.
Utiliser la calculatrice pour conjecturer les propriétés de la suite.
On sait que pour tout entier \(n\) non nul, \(\dfrac{1}{n} \geq 0\)
donc on a : \( u_n \geq -5\).
Le nombre \(-5\) est donc un minorant de cette suite.
On sait que pour tout entier \(n\) non nul , \(\dfrac{1}{n} \leq 1\)
donc on a :
\(u_n = \dfrac{1}{n} -5\)
\(\Leftrightarrow\) \( u_n \leq 1+(-5)\)
\(\Leftrightarrow\) \( u_n \leq -4\).
Le nombre \(-4\) est donc un majorant de cette suite. La suite est minorée et majorée, elle est donc bornée.

Étudions le sens de variations de cette suite. Pour cela la méthode consiste à étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\). On a :
\(u_{n+1}-u_n =\dfrac{1}{n+1} -5- (\dfrac{1}{n} -5) \)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n =\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} \)
En réduisant au même dénominateur, il vient :
\(u_{n+1}-u_n =\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1) } \)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n =\dfrac{-1}{n(n+1) } \)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{

Question 3

Pour tout entier \(n\), on considère la suite : \(u_n = 1+(-1)^n\).

La suite est minorée.
La suite est majorée.
La suite est bornée.
La suite est monotone.
C’est une suite célèbre. Chercher les valeurs des premiers termes.
Attention au sens de variation en étudiant la monotonie.
On a : \(u_0 = 1+(-1)^0 = 2\)
Si \(n\) est un entier pair, on peut l’écrire sous la forme : \( n= 2k\) avec \(k\) entier.
Ainsi, \(1+(-1)^n = 1+(-1)^{2k} = 1+((-1)^2)^k =1+ 1^k =2\)
Tous les termes de la suite de puissance paire sont égaux à \(2\).

Si \(n\) est un entier impair, on peut l’écrire sous la forme \(n= 2k+1\) avec \(k\) entier.
Ainsi, \(1+(-1)^n = 1+(-1)^{2k+1} = 1+((-1)^{2k})\times (-1)^1= 1+1\times (-1) =0\)
Tous les termes de la suite de puissance impaire sont égaux à \(0\).

On dit que cette suite est alternée. Elle est souvent utilisée en mathématiques.
La suite est donc minorée par \(0\), majorée par \(2\) et donc bornée.
Elle n’est cependant pas monotone puisqu’elle prend alternativement des valeurs positives et nulles.

Question 4

Soit \(n\) un entier. Étudier le sens de variation de la suite définie par : \(u_{n+1} = 4{u_n}^2 +5 u_n + 4 \) et \(u_0=-10\)

La suite est bornée.
La suite est strictement croissante.
La suite est strictement décroissante.
On ne peut pas conclure.
A quelle condition une suite est-elle croissante ou décroissante ?
Cela dépend du signe de \(u_{n+1}-u_n\)
Pour cela il faut utiliser une égalité remarquable.
On a : \(u_{n+1} = 4{u_n}^2 +5 u_n + 4 \)
donc :
\(u_{n+1} – u_n = 4{u_n}^2 +5 u_n + 4-u_n\).
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1} – u_n = 4{u_n}^2 +4 u_n + 4\).
Faisons apparaître une identité remarquable :
\(u_{n+1} – u_n = 4{u_n}^2 +4 u_n + 1+3\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1} – u_n = (2u_n +1)² + 3\)
Comme un carré est positif ou nul, \((2u_n +1)^2 + 3 > 0\)
La suite est donc strictement croissante.
L'écart entre deux termes consécutifs est toujours supérieur à $3$ donc elle n'est pas être majorée et n'est donc pas bornée.

Question 5

Soit \(n\) un entier non nul. On considère la suite de termes positifs définie par : \(u_n = \dfrac{6^n}{n^2}\)

La suite est minorée.
La suite est croissante.
La suite est décroissante.
On ne peut pas conclure.
A quelle condition une suite est-elle croissante ou décroissante ?
Dans ce type de suites dont les termes sont strictements positifs, on compare le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) au nombre \(1\).
Et si \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\), alors ?
On pourra par exemple en déduire que la suite est croissante.
La suite n'a que des termes positifs donc elle est bien sur minorée par \(0\).
Étudions à présent le sens de variation de la suite suivante : \(u_n = \dfrac{6^n}{n^2}\)
On a :
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{6^{n+1}}{(n+1)^2}}{\dfrac{6^n}{n^2}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = {\dfrac{6^{n+1}}{(n+1)^2}}\times {\dfrac{n^2}{6^n}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= \dfrac{6n^2}{(n+1)^2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= 6\times (\dfrac{n}{n+1})^2\)

\(n\) est un entier non nul donc \(\dfrac{n}{n+1}\geq\dfrac{1}{2}\)
On en déduit que :
\((\dfrac{n}{n+1})^2\geq(\dfrac{1}{2})^2\)
\(\Leftrightarrow\) \((\dfrac{n}{n+1})^2\geq\dfrac{1}{4}\)
En multipliant par 6, il vient :
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq\dfrac{6}{4}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\)
La suite est donc finalement croissante.