Cours Suites géométriques
Exercice d'application

Exercice : Suites géométriques

Une source sonore émet un son d’intensité 100 décibels (dB). Pour tout entier naturel $n$, on appelle$u_n$ l’intensité du son mesurée après la traversée de $n$ plaques d’isolation phonique. On a donc $u_0 = 100$. Chaque plaque d’isolation absorbe $10\%$ de l’intensité du son qui lui parvient.

1) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.

2) Déterminer pour tout entier $n$, une relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$. En déduire la nature de la suite $u$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3) A l’aide d’une calculatrice, déterminer à partir de quelle valeur de $n$ l’intensité du son devient inférieure à $1$dB.

1) $u_1 = u_0 - 0.1 u_0 = 0.9 u_0 = 90$, où $0.1$ correspond aux $10\%$ d’intensité sonore absorbés par chaque plaque d’isolation. De la même façon $u_2 = 81$ et $u_3 = 72.9$.

2) Pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n – 0.1 u_n = 0.9 u_n$, où $0.1$ correspond aux $10\%$ d’intensité sonore absorbés par chaque plaque d’isolation. Donc $u$ est une suite géométrique de raison $0.9$. Alors $u_n = 0.9^n \times u_0 = 0.9^n \times 100$.

3) La calculatrice nous indique qu’à partir de $n = 44$, on a $u_n \leq 1$.