L'énoncé
Il s’agit de cinq questions indépendantes. Essayer de résoudre ces problèmes avec des suites et d’utiliser les formules de sommes de termes pour répondre.
Question 1
Les sept enfants de la famille Fertilus ont chacun $3$ ans décart. Sachant que le petit dernier a $24$ ans, quelle est la somme de leurs âges ?
L'écart entre chaque enfant étant de trois ans, on peut associer ce problème à une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme \(u_1=24\).
On cherche \(S_7 = u_1 + u_2 +
.+ u_7\) la somme des âges des 7 (grands) enfants.
\(S_7=\dfrac{nombre \ de \ termes(1er \ terme + dernier \ terme)}{2}\)
\(S_7=\dfrac{7(u_1+ u_7)}{2}\)
Nous ne connaissons pas \(u_7\).
On a : \( u_7 = u_1 + 6r = 24 + 6\times3 = 24+18 = 42\)
Ainsi :
\(S_7=\dfrac{7(u_1+ u_7)}{2}\)
\(S_7=\dfrac{7(24 +42)}{2}\)
\(S_7=231\)
La somme de leurs âges est donc $231$ ans.
Est-elle arithmétique ou géométrique ? Penser à cet écart de $3$ ans.
Il s’agit bien d’une suite arithmétique dont on va maintenant additionner des termes.
Question 2
Calculer \(S = 6+12+24+48+96+192+384\) en utilisant une somme de termes de suite.
Chaque terme est le double du terme précédent. On définit donc la suite \((u_n)\) géométrique de raison $2$ et de premier terme \(u_1 = 6\).
Calculons à présent \(S\) la somme des $7$ premiers termes de cette suite :
\(S = 6+12+24+48+96+192+384\)
\(S =premier \ terme\times \dfrac{1-q^{nombre \ de \ termes}}{1-q}\)
\(S =6\times \dfrac{1-2^{7}}{1-2}\)
\(S =6\times \dfrac{-127}{-1}\)
\(S =6\times 127\)
\(S =762\)
Les termes suivants sont-ils obtenus avec une suite particulière ?
Conclure en utilisant la formule adaptée.
Question 3
À chaque fois que Nathanaël fait des bêtises, son argent de poche diminue de moitié. En janvier 2013, ses parents lui donnent $40$€ /mois.
Il est de surcroît avare, donc il ne dépense rien. Sachant qu'il enchaine les âneries sans faire la moindre pause, combien aura t-il dans sa cagnotte en juin 2013 ?
Diviser par 2 revient à multiplier par \(\dfrac{1}{2}\)
On associe donc à ce problème une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(u_1=40\).
Entre janvier et juin, il y 6 mois d'écart.
Donc on cherche \(S_6 = u_1 + u_2 + ..+ u_6\) la somme d'argent qu'il a accumulé en six mois.
\(S_6 =premier \ terme\times \dfrac{1-q^{nombre \ de \ termes}}{1-q}\)
\(S_6 =40\times \dfrac{1-(\frac{1}{2})^6}{1-\frac{1}{2}}\)
\(S_6 = 78,75\)
En six mois, Nathanaël aura accumulé $78,75$ euros.
Est-elle arithmétique ou géométrique ?
Penser à quelle opération est associée la moitié d’un nombre.
Il s’agit bien d’une suite géométrique dont on va maintenant additionner des termes.
Question 4
Calculer \(S = 512 +128 + 32 + 8 + 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\) en utilisant une somme de termes de suite.
Chaque terme est le quart du terme précédent.
On définit donc la suite \((u_n)\) géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\) et de premier terme \(u_1 = 512\).
Calculons à présent \(S\) la somme des 7 premiers termes de cette suite.
\(S =512 +128 + 32 + 8 + 2 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\)
\(S =premier \ terme\times \dfrac{1-q^{nombre \ de \ termes}}{1-q}\)
\(S =512\times \dfrac{1-(\frac{1}{4})^{7}}{1-(\frac{1}{4})}\)
\(S =512\times \dfrac{1-(\frac{1}{4})^{7}}{(\frac{3}{4})}\)
\(S =682,625\)
Les termes suivants sont-ils obtenus avec une suite particulière ?
Conclure en utilisant la formule adaptée.
Question 5
Calculer la somme des $150$ premiers multiples de $4$.
Soit \(S\) la somme des $150$ premiers multiples de $4$ :
\(S=4\times1+4\times2+4\times3+...+4\times150\)
\(S=4(1+2+3+...+150)\)
Le terme entre parenthèses est la somme des $150$ premiers termes de la suite arithmétique de raison $1$ et de premier terme $1$.
Et on sait que : \(1+2+3+4+...+150=150\times\dfrac{(1+150)}{2} =11325\)
Donc : \(S=4\times11325 = 45300\)
Peut-on factoriser cette expression ?
On doit voir apparaître une somme connue.