Cours Sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques

Exercice - Sommes de termes de suites

L'énoncé

Il s’agit de cinq questions indépendantes. Essayer de résoudre ces problèmes avec des suites et d’utiliser les formules de sommes de termes pour répondre.


Question 1

Les sept enfants de la famille Fertilus ont chacun $3$ ans décart. Sachant que le petit dernier a $24$ ans, quelle est la somme de leurs âges ?

L'écart entre chaque enfant étant de trois ans, on peut associer ce problème à une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme \(u_1=24\).

On cherche \(S_7 = u_1 + u_2 +….+ u_7\) la somme des âges des 7 (grands) enfants.

\(S_7=\dfrac{nombre \ de \ termes(1er \ terme + dernier \ terme)}{2}\)

\(S_7=\dfrac{7(u_1+ u_7)}{2}\)

Nous ne connaissons pas \(u_7\).
On a : \( u_7 = u_1 + 6r = 24 + 6\times3 = 24+18 = 42\)

Ainsi :

\(S_7=\dfrac{7(u_1+ u_7)}{2}\)

\(S_7=\dfrac{7(24 +42)}{2}\)

\(S_7=231\)


La somme de leurs âges est donc $231$ ans.

Peut-on inventer une suite liée à ce problème ?
Est-elle arithmétique ou géométrique ? Penser à cet écart de $3$ ans.
Il s’agit bien d’une suite arithmétique dont on va maintenant additionner des termes.

Question 2

Calculer \(S = 6+12+24+48+96+192+384\) en utilisant une somme de termes de suite.

Chaque terme est le double du terme précédent. On définit donc la suite \((u_n)\) géométrique de raison $2$ et de premier terme \(u_1 = 6\).


Calculons à présent \(S\) la somme des $7$ premiers termes de cette suite :

\(S = 6+12+24+48+96+192+384\)

\(S =premier \ terme\times \dfrac{1-q^{nombre \ de \ termes}}{1-q}\)

\(S =6\times \dfrac{1-2^{7}}{1-2}\)

\(S =6\times \dfrac{-127}{-1}\)

\(S =6\times 127\)

\(S =762\)

Poser \(u_1 = 6\). C’est le premier terme.
Les termes suivants sont-ils obtenus avec une suite particulière ?
Conclure en utilisant la formule adaptée.

Question 3

À chaque fois que Nathanaël fait des bêtises, son argent de poche diminue de moitié. En janvier 2013, ses parents lui donnent $40$€ €/mois.

Il est de surcroît avare, donc il ne dépense rien. Sachant qu'il enchaine les âneries sans faire la moindre pause, combien aura t-il dans sa cagnotte en juin 2013 ?

Diviser par 2 revient à multiplier par \(\dfrac{1}{2}\)

On associe donc à ce problème une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(u_1=40\).

Entre janvier et juin, il y 6 mois d'écart.

Donc on cherche \(S_6 = u_1 + u_2 +…..+ u_6\) la somme d'argent qu'il a accumulé en six mois.

\(S_6 =premier \ terme\times \dfrac{1-q^{nombre \ de \ termes}}{1-q}\)

\(S_6 =40\times \dfrac{1-(\frac{1}{2})^6}{1-\frac{1}{2}}\)

\(S_6 = 78,75\)

En six mois, Nathanaël aura accumulé $78,75$ euros.

Peut-on inventer une suite liée à ce problème ?
Est-elle arithmétique ou géométrique ?
Penser à quelle opération est associée la moitié d’un nombre.
Il s’agit bien d’une suite géométrique dont on va maintenant additionner des termes.

Question 4

Calculer \(S = 512 +128 + 32 + 8 + 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\) en utilisant une somme de termes de suite.

Chaque terme est le quart du terme précédent.

On définit donc la suite \((u_n)\) géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\) et de premier terme \(u_1 = 512\).

Calculons à présent \(S\) la somme des 7 premiers termes de cette suite.


\(S =512 +128 + 32 + 8 + 2 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\)

\(S =premier \ terme\times \dfrac{1-q^{nombre \ de \ termes}}{1-q}\)

\(S =512\times \dfrac{1-(\frac{1}{4})^{7}}{1-(\frac{1}{4})}\)

\(S =512\times \dfrac{1-(\frac{1}{4})^{7}}{(\frac{3}{4})}\)

\(S =682,625\)

Poser \(u_1 = 512\). C’est le premier terme.
Les termes suivants sont-ils obtenus avec une suite particulière ?
Conclure en utilisant la formule adaptée.

Question 5

Calculer la somme des $150$ premiers multiples de $4$.

Soit \(S\) la somme des $150$ premiers multiples de $4$ :

\(S=4\times1+4\times2+4\times3+...+4\times150\)

\(S=4(1+2+3+...+150)\)

Le terme entre parenthèses est la somme des $150$ premiers termes de la suite arithmétique de raison $1$ et de premier terme $1$.

Et on sait que : \(1+2+3+4+...+150=150\times\dfrac{(1+150)}{2} =11325\)

Donc : \(S=4\times11325 = 45300\)

Ecrire cette somme (du moins les premiers termes et le dernier).
Peut-on factoriser cette expression ?
On doit voir apparaître une somme connue.