Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Suites numériques

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 23% de son intensité lumineuse.

1) Soit $I_0$ l’intensité d’un rayon lumineux à son entrée dans la plaque de verre et $I_1$ son intensité à la sortie.

Exprimer $I_1$ en fonction de $I_0$.

 

2) On superpose $n$ plaques de verre identiques ; on note $I_n$ l’intensité du rayon à la sortie de la $n$-ième plaque.

a) Exprimer $I_n$ en fonction de $I_{n-1}$.

b) Quelle est la nature de la suite $I_n$ ? Déterminer l’expression de $I_n$ en fonction de $n$ et de $I_0$.

c) Quel est le sens de variation de $I_n$ ?

 

3) Quelle est l’intensité initiale d’un rayon dont l’intensité après avoir traversé 4 plaques est égale à 15 ?

4) Calculer le nombre minimum de plaques qu’un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante.

1) La perte de 23% correspond à $I_1=I_0 - \dfrac{23}{100} I_0 = 0,77 I_0$.

 

2) a) A chaque passage l’intensité est multipliée par $0,77$ : $I_n = 0,77 I_{n-1}$.

b) $I_n$ est une suite géométrique de raison $0.77$.

On a $I_n=I_0\times q^n = I_0 (0,77^n)$.

c) Comme $I_n=0,77 I_{n-1} < I_{n-1}$, $I_n$ est décroissante.

 

3) On cherche $I_0$ sachant que $I_4 = 15$ : $I_4 = 15 = I_0 \times (0,77)^4$, donc

$I_0= \dfrac{15}{0,77^4} \approx 42,67$.

 

4) On cherche $n$ pour que $I_n \leq \dfrac{1}{4}I_0 $ donc

$I_0\times0,77^n \leq 0,25 I_0$ donc $0,77^n \leq 0,25$.

A la machine on a les résultats suivants :

$n$ $I_n$ $n$ $I_n$
0 1 9 0.09515169
1 0.77 10 0.0732668
2 0.5929 11 0.05641544
3 0.456533 12 0.04343989
4 0.35153041 13 0.03344871
5 0.27067842 14 0.02575551
6 0.20842238 15 0.01983174
7 0.16048523 16 0.01527044
8 0.12357363 17 0.01175824

Pour $n=6$, on est en dessous de $\dfrac{1}{4}$.