Cours Stage - Cosinus et sinus d’un nombre réel
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Le point \(M\) du cercle trigonométrique tel que \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OM})=\dfrac{2\pi}{3}\) a pour coordonnées :

\(M\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

\(M\left(\dfrac{1}{2 };\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)\)

\(M\left(-\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

\(M\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

Les coordonnées du point \(M\) sont \(\cos(\frac{2\pi}{3})\) et \(sin(\frac{2\pi}{3})\)

\(\cos(\frac{2\pi}{3})<0\) et \(sin(\frac{2\pi}{3})>0\)


\(\cos(\frac{2\pi}{3}) =-\cos(\frac{\pi}{3})\) et \(\sin(\frac{2\pi}{3})= \sin(\frac{\pi}{3}) \) (un schéma du cercle trigonométrique te permets de visualiser ces affirmations)

Question 2

Quelles sont la ou les propositions correctes ?
\( \cos(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4})\)
\( \sin(\frac{5\pi}{6})=\sin(\frac{11\pi}{6})\)
\( \cos(\frac{4\pi}{3})=\sin(\frac{11\pi}{6})\)
\( \cos(\frac{3\pi}{4})=\sin(\frac{7\pi}{4})\)
Cercle avec les valeurs des cos et des sin des angles "en \(\frac{\pi}{4}\)"


Cercle avec les valeurs des cos et des sin des angles "en \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{6}\)"

Tu peux facilement refaire les cercles trigonométriques avec les valeurs des cosinus et des sinus.

Question 3

Sachant que \(a \in\left[ \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) et que \(\sin(a) = -\dfrac{\sqrt3}{2}\) on a :

\(a=\dfrac{2\pi}{3}\)

\(a=-\dfrac{2\pi}{3}\)

\(a=\dfrac{5\pi}{3}\)

\(a=\dfrac{4\pi}{3}\)

Parmi les valeurs proposées quelles sont celles de l'intervalle \( [ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) ?


Vérifie ensuite pour lesquelles le cosinus vaut \( -\frac{\sqrt3}{2}\)

\(\frac{4\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}\) sont dans l'intervalle \( [ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) mais \(\sin(\frac{2\pi}{3}) \neq - \frac{\sqrt3}{2}\)

Question 4

Sachant que \(\cos(a) = 0\), que \(\sin(a) = -1\) et que \(a \in [-2\pi;0]\) ,  alors :

\(a= \dfrac{3\pi}{2}\)

\(a= \dfrac{\pi}{2}\)

\(a= 0\)

\(a=- \dfrac{\pi}{2}\)

Parmi les valeurs proposées quelles sont celles de l'intervalle \([-2\pi;0]\) ?


Pour laquelle des valeurs le cosinus est nul ?

\(0\) et \(-\frac{\pi}{2}\) sont dans l'intervalle \([-2\pi;0]\).


\(\cos(0) = 1\)

Question 5

Soit \(a\) un réel de \( \left]-\dfrac{\pi}{2};0 \right[\) tel que \(\cos(a)=\dfrac{1}{7}\). Alors :

\(\sin(a) = -\dfrac{6}{7}\)

\(\sin(a) = \dfrac{6}{7}\)

\(\sin(a) = \dfrac{4\sqrt3}{7} \)

\(\sin(a) = - \dfrac{4\sqrt3}{7} \)

Comme \(a\) appartient à l'intervalle \( ]-\frac{\pi}{2};0 [\) son sinus est négatif.


Utilise l'égalité : \(\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1\) pour déterminer les valeurs possibles de \(\sin(a)\).

\(\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1 \Leftrightarrow \sin^2(a) +\frac{1}{49}= 1 \Leftrightarrow \sin^2(a) = \frac{48}{49}\)
Donc :
\(\sin(a) = \sqrt{(\frac{48}{49})} = \frac{4\sqrt3}{7}\) ou \(\sin(a) = -\frac{4\sqrt3}{7}\)


Comme \(a \in \; ]-\frac{\pi}{2};0 [\) son sinus est négatif.