L'énoncé
Le plan est muni d'un repère orthonormé \( (O; I, J)\)
On considère 3 angles dont les mesures en degré sont : \(\alpha = 225°\), \(\beta = 480°\) et \(\gamma = 30°\).
Réaliser une figure et la compléter au fur et à mesure de l'exercice.
Question 1
Donner la mesure principale en radians de chaque angle.
Par proportionnalité : \(225°\) correspond à \(\dfrac{(225 \pi)}{180} \;rad\) soit à \(\dfrac{5\pi}{4}\; rad\).
De plus \(\dfrac{5\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{3\pi}{4}\) donc la mesure principale de l'angle alpha en radians est \(-\dfrac{3\pi}{4}\)
On trouve de même que :
La mesure principale de l'angle \(\beta = 480°\) en radians est \(\dfrac{2\pi}{3}\).
La mesure principale de l'angle \(\gamma = 30°\) en radians est \(\dfrac{\pi}{6}\).
\(180° = \pi \ rad\)
Question 2
Placer sur le cercle trigonométrique les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) associés à chacun des trois angles $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$
Utilise les mesures principales trouvées à la question 1.
Question 3
Déterminer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chaque angle.
\(\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\)
\(\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2}\) et \(\sin(\frac{2\pi}{3}) = \dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(\cos(\frac{\pi}{6}) = \dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \dfrac{1}{2}\)
Utilise une fois de plus les mesures principales trouvées à la question 1.
Question 4
Soit \(A'\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\). Déterminer le cosinus et le sinus de l'angle \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA'})\).
Par définition de la symétrie centale : \(A'\left(\dfrac{\sqrt 2}{2};\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)\)
On a donc :
\(\cos(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA'})= \dfrac{\sqrt 2}{2}\) et
\(\sin(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA'})= \dfrac{\sqrt 2}{2}\)
Place le point \(A'\) sur la figure.
Quelles sont ses coordonnées par rapport à celles de \(A\) ?
Question 5
Soit \(B'\) le symétrique de \(B\) par rapport à l'axe \((Oy)\). Déterminer le cosinus et le sinus de l'angle \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB'})\).
Par définition de la symétrie axiale : \(B'\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)
On a donc:
\(\cos(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB'})= \dfrac{1}{2} \) et
\(\sin(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB'})=\dfrac{\sqrt3}{2} \)
Place le point \(B'\) sur la figure.
Quelles sont ses coordonnées par rapport à celles de \(B\) ?
Question 6
Soit \(C'\) le symétrique de \(C\) par rapport à l'axe \((Ox)\). Déterminer le cosinus et le cosinus de l'angle \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC'})\).
Par définition de la symétrie axiale : \(C'\left(\dfrac{\sqrt3}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
On a donc :
\(\cos(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC'})=\dfrac{\sqrt3}{2} \) et
\(\sin(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC'})=-\dfrac{1}{2} \)
Place le point \(C'\) sur la figure.
Quelles sont ses coordonnées par rapport à celles de \(C\) ?