Cours Stage - Cosinus et sinus d’un nombre réel

Exercice - Lectures graphiques et propriétés des angles

L'énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé \( (O; I, J)\)

On considère 3 angles dont les mesures en degré sont : \(\alpha = 225°\), \(\beta = 480°\) et \(\gamma = 30°\).

Réaliser une figure et la compléter au fur et à mesure de l'exercice.


Question 1

Donner la mesure principale en radians de chaque angle.

Par proportionnalité : \(225°\) correspond à \(\dfrac{(225 \pi)}{180} \;rad\) soit à \(\dfrac{5\pi}{4}\; rad\).

De plus \(\dfrac{5\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{3\pi}{4}\) donc la mesure principale de l'angle alpha en radians est \(-\dfrac{3\pi}{4}\)

On trouve de même que :

La mesure principale de l'angle \(\beta = 480°\) en radians est \(\dfrac{2\pi}{3}\).

La mesure principale de l'angle \(\gamma = 30°\) en radians est \(\dfrac{\pi}{6}\).

\(180° = \pi \ rad\)

Question 2

Placer sur le cercle trigonométrique les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) associés à chacun des trois angles $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$

Utilise les mesures principales trouvées à la question 1.

Question 3

Déterminer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chaque angle.

\(\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\)   et \(\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\)

\(\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2}\)   et \(\sin(\frac{2\pi}{3}) = \dfrac{\sqrt3}{2}\)

\(\cos(\frac{\pi}{6}) = \dfrac{\sqrt3}{2}\)   et \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \dfrac{1}{2}\)

Utilise une fois de plus les mesures principales trouvées à la question 1.

Question 4

Soit \(A'\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\). Déterminer le cosinus et le sinus de l'angle \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA'})\).

Par définition de la symétrie centale : \(A'\left(\dfrac{\sqrt 2}{2};\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)\)

On a donc :

\(\cos(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA'})= \dfrac{\sqrt 2}{2}\) et

\(\sin(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA'})= \dfrac{\sqrt 2}{2}\)

Place le point \(A'\) sur la figure.


Quelles sont ses coordonnées par rapport à celles de \(A\) ?

Question 5

Soit \(B'\) le symétrique de \(B\) par rapport à l'axe \((Oy)\). Déterminer le cosinus et le sinus de l'angle \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB'})\).

Par définition de la symétrie axiale : \(B'\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

On a donc:

\(\cos(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB'})= \dfrac{1}{2} \) et

\(\sin(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB'})=\dfrac{\sqrt3}{2} \)

Place le point \(B'\) sur la figure.


Quelles sont ses coordonnées par rapport à celles de \(B\) ?

Question 6

Soit \(C'\) le symétrique de \(C\) par rapport à l'axe \((Ox)\). Déterminer le cosinus et le cosinus de l'angle \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC'})\).

Par définition de la symétrie axiale : \(C'\left(\dfrac{\sqrt3}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)

On a donc :

\(\cos(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC'})=\dfrac{\sqrt3}{2} \) et

\(\sin(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC'})=-\dfrac{1}{2} \)

Place le point \(C'\) sur la figure.


Quelles sont ses coordonnées par rapport à celles de \(C\) ?