Cours Formules d'addition
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Sachant que \(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\pi}{12}\) alors \(\cos(-\frac{\pi}{12})\) est égal à :

\(\dfrac{\sqrt6+ \sqrt2}{4}\)

\(\dfrac{\sqrt6+ \sqrt2}{2}\)

\(\dfrac{\sqrt6- \sqrt2}{4}\)

\(\dfrac{\sqrt6}{4}\)

À quoi est égal \(cos(a - b)\) ?


Ici \(a = \frac{\pi}{6}\) et \( b =\frac{\pi}{4}\)

\(\cos(-\frac{\pi}{12}) =\cos(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}) \)


\(\cos(-\frac{\pi}{12}) =\cos(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{\pi}{4}) +\sin(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{4})\)


\(\cos(-\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2}+ \frac{1}{2}\frac{\sqrt2}{2}\)

Question 2

L'ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de l'équations \(\sin(2x) = \sin(x)\) est :

\(S = \left\{0+2k\pi ; \dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}\right\}\)

\(S =\left\{0 ; \pi; \dfrac{\pi}{3} ; - \dfrac{\pi}{3}\right\}\)

\(S =\left\{0; \dfrac{\pi}{3}\right\}\)

\(S =\left\{0 +2k\pi ; \pi+2k\pi; \dfrac{\pi}{3}+2k\pi ; - \dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}\right\}\)

\(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)


Un produit de facteur est nul si et seulement si un des facteurs l'est.


L'équation est équivalente à \(\sin(x)(2\cos(x) – 1) = 0\)


On doit résoudre l'équation sur \(\mathbb{R}\).


On peut aussi utiliser les équations trigonométriques sans passer par \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)

\(\sin(2x) = \sin(x) \Leftrightarrow 2\sin(x)\cos(x) – \sin(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(x)(2\cos(x) – 1) = 0\)
\(\sin(2x) = \sin(x) \Leftrightarrow \sin(x) = 0 \) ou \( \cos(x) =\frac{1}{2}\) ou \(\cos(x) = \cos(\frac{\pi}{3})\)


Or, \( \sin(x) = 0 \Leftrightarrow x \equiv 0 [2\pi] \) et \(x \equiv \pi – 0 [2\pi]\)
et \(\cos(x) = \cos(\frac{\pi}{3}) \Leftrightarrow x \equiv= \frac{\pi}{3} [2\pi] \) et \(x \equiv -\frac{\pi}{3}[2\pi]\)


Ainsi l'ensemble des solutions est \(S = \{0 +2k\pi ; \pi+2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi ; - \frac{\pi}{3}+2k\pi\}, k\in \mathbb{Z}\)

Question 3

L'expression \(A(x) = \cos(x + \frac{\pi}{4}) + \sin(x + \frac{\pi}{4})\) est égale à :

\(A(x) = \cos(x)\sqrt2 \)

\(A(x) = \cos(x)+\sqrt2 \)

\(A(x) = \cos(2x+ \frac{\pi}{2})\)

\(A(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}(\cos(x)+\sin(x))\)

Développe chaque terme à l'aide de \(\cos(a + b)\) et \(\sin(a + b)\).


\(\cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})\)

\(A(x) = \cos(x + \frac{\pi}{4}) + \sin(x + \frac{\pi}{4})\\ A(x) = \cos(x)\frac{\sqrt2}{2}- \sin(x)\frac{\sqrt2}{2} + \cos(x)\frac{\sqrt2}{2} + \sin(x)\frac{\sqrt2}{2}\\ A(x) = \cos(x)\sqrt2 \)

Question 4

L'expression \(A(x) = \cos(x) + \sin(x)\) est égale à :

\( \sqrt2 \cos( x+\frac{\pi}{4})\)

\( \sqrt2 \cos( x-\frac{\pi}{4})\)

\( \sqrt2 \sin( x+\frac{\pi}{4})\)

\( \sqrt2 \sin( x-\frac{\pi}{4})\)

Tu peux calculer chaque expression proposée.


Tu peux aussi mettre \(\sqrt2\) en facteur : \(\sqrt2( \frac{1}{\sqrt2}cos(x) +\frac{1}{\sqrt2}sin(x))\)


Attention : \(\cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})= \frac{\sqrt2}{2}\) donc plusieurs écritures possibles !!

\(A(x)= \cos(x)+sin(x)\)
\(\Leftrightarrow A(x)=\sqrt2( \frac{1}{\sqrt2}cos(x) +\frac{1}{\sqrt2}sin(x)) \)
\(\Leftrightarrow A(x)= \sqrt2( \frac{\sqrt2}{2}cos(x) +\frac{\sqrt2}{2}sin(x)) \)


D'une part on obtient:
\(A(x)= \sqrt2(\cos( \frac{\pi}{4})cos(x) +\sin( \frac{\pi}{4})sin(x))\)
\(\Leftrightarrow A(x)= \sqrt2 \cos( x-\frac{\pi}{4})\)


D'autre part on obtient :
\(A(x)= \sqrt2(\sin( \frac{\pi}{4})cos(x) +\cos( \frac{\pi}{4})sin(x)) \)
\(\Leftrightarrow A(x)= \sqrt2 \sin( x+\frac{\pi}{4})\)


Il existe donc deux écritures différentes.

Question 5

Sachant que \(\cos(x) = \dfrac{1}{3}\) et que \( x\) appartient à \(\left[0 ;\dfrac{\pi}{2} \right] \) alors :

\(\sin(2x)= \dfrac{2\sqrt2}{9}\)

\(\sin(2x)= -\dfrac{2\sqrt2}{9}\)

\(\sin(2x)= -\dfrac{4\sqrt2}{9}\)

\(\sin(2x)= \dfrac{4\sqrt2}{9}\)

\(\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x)\)


Déterminer \(\sin(x)\) à l'aide de \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)


\( x\) appartient à \([0 ;\frac{\pi}{2} ] \) si son sinus est positif.

\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) donc \(\sin^2(x) = \frac{8}{9}\)
Ainsi \(\sin(x) = \sqrt\frac{8}{9}= \frac{2\sqrt 2}{9}\) ou \(\sin(x)=-\frac{2\sqrt 2}{9}\)
Or comme \(x\in [0 ;\frac{\pi}{2} ]\) alors \(\sin(x)>0 \) et \(\sin(x)=\frac{2\sqrt 2}{9}\)


De plus \(\sin(2x) = \cos(x)\sin(x)\) soit \(\sin(2x) = 2\times\frac{2\sqrt2}{3}\times\frac{1}{3}= 4\frac{\sqrt2}{9}\)