Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application
Exercice : Trigonométrie, exercice de synthèse

Calculatrice fortement déconseillée (Jouez le jeu, c’est pour votre bien !)

1) Quelle est la mesure principale de l’angle orienté dont une mesure est $\frac{107\pi}{6}$? Même question pour l’angle de mesure $\frac{-91\pi}{8}$.

2) Déterminer le cosinus et le sinus des angles suivants : $\frac{-7\pi}{6}$ et $\frac{3\pi}{4}$.

3) Je suis la mesure en radian d’un angle orienté, j’appartiens à l’intervalle $[8\pi;9\pi]$ et mon sinus vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Qui suis-je ? 

4) Résoudre dans l'ensemble des réels les équations :

   $\cos(x) =\cos(\frac{\pi}{9})$

   et $\sin(x) =\sin(\frac{-\pi}{9})$

5) a) On suppose que $\cos(x)=0,1$ et $x$ appartient à l'intervalle $[\frac{\pi}{2};\pi]$. Calculer $\sin(x)$.

    b) On suppose que $\sin(x) = -0,7$ et $x$ appartient à l'intervalle $[-\pi;\frac{-\pi}{2}]$. Calculer $\cos(x)$.

1) $\frac{107\pi}{6}=\frac{108\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=18\pi-\frac{\pi}{6}$

Donc la mesure principale cherchée est $\frac{-\pi}{6}$.

$\frac{-91\pi}{8} =\frac{-96\pi}{8}+\frac{5\pi}{8}=12\pi+\frac{5\pi}{8}$

Donc la mesure principale cherchée est $\frac{5\pi}{8}$.

 

2) $\cos(\frac{-7\pi}{6})=\cos (\frac{7\pi}{6})=\cos(\pi +\frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{-7\pi}{6})=-\sin(\frac{7\pi}{6})=-\sin(\pi+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$\cos(\frac{3\pi}{4})=\cos(\pi-\frac{\pi}{4})=-\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

et $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

3) On cherche $x$ dans $[8\pi;9\pi]$ tel que $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

On sait que $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(\pi-\frac{\pi}{3})$.

Il y a donc deux réels solutions: $x_1=8\pi+\frac{\pi}{3}$ et $x_2=8\pi+\frac{2\pi}{3}$.

 

4) $\cos(x) = \cos(\frac{\pi}{9})\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{9}+2k\pi$ ou $x=\frac{-\pi}{9}+2k\pi$ avec k un entier relatif. 

$\sin(x) = \sin(\frac{-\pi}{9})\Leftrightarrow x=\frac{-\pi}{9}+2k\pi$ ou $x=\pi +\frac{\pi}{9}+2k\pi$ avec k un entier relatif. 

 

5) a) On suppose que $\cos(x) = -0.1$ et $x\in[\frac{\pi}{2};\pi]$.

On utilise la formule $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ et on trouve $\sin^2(x) = 0.99$.

Or $x\in[\frac{\pi}{2};\pi]$, donc $\sin(x)≥ 0$ ce qui permet de trouver $\sin(x) = \sqrt{0.99}$.

b) On suppose que $\sin(x) = -0.7$ et $x$ appartient à $[-\pi;\frac{-\pi}{2}]$.

On utilise la formule $\cos^2 (x) + \sin^2(x) = 1$ et on trouve $\cos^2(x) = 0.51$.

Comme $x$ appartient à $[-\pi;\frac{-\pi}{2}]$, alors $\cos(x)≤ 0$ donc $\cos(x) = - \sqrt{0.51}$.