Cours Stage - Vecteurs directeurs d'une droite et équation cartésienne
Exercice d'application

Exercice : Equation cartésienne

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_1$ passant par $M(5 ;1)$ et parallèle à $d_2$ d’équation $2x–3y+7=0$.

 

2) Soit $d$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(−1; 4)$ passant par $A\left(\dfrac{1}{2}; −3\right)$.

Déterminer une équation cartésienne de $d$.

 

3) Soit la droite d’équation $5x + y – 11 = 0$.

a) Le point $A(3 ;0)$ appartient-il à $d$ ?

b) En quel point la droite coupe-t-elle l’axe des abscisses ?

c) En quel point coupe-t-elle l’axe des ordonnées ?

d) Soit la droite $d_1$ d’équation $–x–y+2=0$ et la droite $d_2$ d’équation $2x–y+1=0$.

Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

1) La droite $d_1$ est parallèle à $d_2$ donc elles ont le même vecteur directeur : $\vec{u}(3; 2)$.

Donc on peut déjà dire que $d_1$ a pour équation $2x – 3y + c = 0$, $c$ restant à déterminer.

La droite passe par $M(5 ;1)$ donc on a : $2×5 − 3 + c = 0$

$\Leftrightarrow 10 – 3 + c = 0$

$\Leftrightarrow c=–7$

La droite $d_1$ a donc pour équation cartésienne $2x – 3y – 7 = 0$.

 

2)  La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(−1; 4)$ donc l’équation sera de la forme : $4x + y + c = 0$.

Elle passe par $A\left(\dfrac{1}{2};−3\right)$ donc on a :

$4×\dfrac{1}{2} − 3 + c = 0$

$\Leftrightarrow 2–3+c=0$

$\Leftrightarrow c=1$

La droite $d$ a donc pour équation cartésienne $4x + y + 1 = 0$.

 

3) Soit la droite d’équation $5x + y – 11 = 0$.

a) $5×3+0−11=4≠0$ donc $A(3;0)$ n’appartient pas à $d$.

 

b) La droite coupe l’axe des abscisses pour $y=0$.

Ainsi : $5x+0–11=0 \Leftrightarrow x = \dfrac{11}{5}$

La droite coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\dfrac{11}{5}; 0\right)$.

 

c) La droite coupe l’axe des ordonnées quand $x = 0$ donc quand $0 + y – 11 = 0$.

Donc $y = 11$.

La droite coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(0 ;11)$.

 

d) On résout le système d’équations suivant :

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}-x-y+2&=0& \\2x-\,y+1&=0& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}x&=-y+2& \\2(-y+2)-y+1\,&=0& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}x&=-y+2& \\-2y+4-y+1\,&=0& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}x&=-y+2& \\-3y\,&=-5& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}x&=-\dfrac{5}{3}+2& \\y\,&=\dfrac{5}{3}& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1}{3}& \\y\,&=\dfrac{5}{3}& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

Les droites $d_1$ et $d_2$ se coupent au point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.