Cours Vecteurs directeurs d'une droite et équation cartésienne
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


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Question 1

La droite d'équation cartésienne \(3x-5y-20=0\) passe par le point :

\(M(0 ;-4)\)

\(M(6.5 ;0)\)

\(M\left(\dfrac{3}{5} ;-3\right)\)

\(M(3 ;5)\)

Remplacer les coordonnées dans l’équation de la droite pour voir si l'égalité est vérifiée.

Il suffit de remplacer par les coordonnées des point : facile… mais gare aux erreurs de calculs !

Question 2

La droite d'équation cartésienne \(3x-5y-20=0\) a aussi pour équation :

\( 0,75x-1,25y-5=0\)

\(-15x+25y+100=0\)

\(y= \dfrac{3x}{5}-4\)

\(y= -\dfrac{3x}{5}+4\)

Par quel réel faut-il multiplier (ou diviser) l’équation d’origine pour obtenir celle proposée ?


Pour les équations réduites (soit \(y=mx+p\)), isoler le « \(y \) » pour se ramener à l’écriture \(y=mx+p\).

Pour les propositions 1 et 2 : il suffit de diviser tous les coefficients d’origine par \(4 \) (proposition 1) et de les multiplier par \(-5\) (proposition 2), et l’on obtient une autre équation cartésienne de la même droite.


La proposition 3 est aussi juste : on isole les y pour obtenir l’équation réduite :
\( \begin{align*}3x-5y-20=0 &\Leftrightarrow -5y = -3x+20\\ &\Leftrightarrow y= \dfrac{-3x+20}{-5}\\ &\Leftrightarrow y= \dfrac{3x}{5}-4\end{align*} \)
ou
\( \begin{align*}3x-5y-20=0 &\Leftrightarrow -3x+20=-5y \\ &\Leftrightarrow \dfrac{-3x+20}{-5}= y\\ &\Leftrightarrow \dfrac{3x}{5}-4 = y\end{align*}\)


Une droite possède plusieurs équations cartésiennes (soit sous la forme \(ax+by+c=0\)), mais une seule équation réduite (sous la forme \(y=mx+p\)).


Attention, on peut multiplier tous les coefficients par un même nombre lorsque l’o

Question 3

La droite d'équation cartésienne \(3x-5y-20=0 \) admet comme vecteur directeur :

\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -3 \\ 5\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{x}\begin{pmatrix} -25 \\ -15 \end{pmatrix}\)

Pour une équation de droite \(ax+by+c=0\) on peut prendre comme vecteur directeur : \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).


Pour trouver les autres vecteurs, il suffit de voir s’ils sont colinéaires au vecteur directeur \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\) (celui-ci étant obtenu par la formule de cours).

Si nécessaire, utiliser alors le critère de colinéarité (ou la proportionnalité des coordonnées) !

C’est une question très importante ! Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs (ils sont tous colinéaires entre eux) : une fois qu'on en a trouvé un, on les as tous !

Il suffit de prendre tous les vecteurs colinéaires à celui qu'on a trouvé.

Par exemple ici, comme \(\overrightarrow{x}= -5\overrightarrow{v}\) , on est sûr que \(\overrightarrow{x}\) est un autre vecteur directeur de la droite.

Question 4

On donne la représentation graphique d'une droite \(D\) :

Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}\)

Non, On peut facilement visualiser le vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}\) dans le même repère que la droite.

On voit alors bien que ce vecteur ne dirige pas la droite.

Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -3\end{pmatrix}\)

Oui, comme le montre la figure :

Il s’agit bien d’un vecteur directeur de la droite !

Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -2 \\ 1.5\end{pmatrix}\)

Oui, là aussi, on peut utiliser une figure. Sinon, comme on connait déjà un vecteur directeur de la droite (le vecteur de la proposition 2 : \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -3\end{pmatrix}\), il suffit de voir si le vecteur proposé est colinéaire à \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -3\end{pmatrix}\). Comme on a \(\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{w}\), ou \(\overrightarrow{w}= -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}\) , \(\overrightarrow{w}\) est bien un vecteur directeur de \(D\).

Le coefficient directeur de \(D\) est \(a=-0,75\).

Oui, par lecture graphique.
Une première lecture (peu précise) montre qu’en se décalant de \(1\) unité vers la droite, on descend de \(0,75\) unité vers le bas.
Une deuxième lecture (plus précise) : on part du point de coordonnées \((0 ;3)\), et on se décale de \(4\) unités vers la droite et de \(3\) vers le bas pour rejoindre le point de coordonnées \((4 ;0)\) : le coefficient directeur est : \(a= -\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= -\dfrac{3}{4}\) (n’oubliez pas le signe - : la droite « descend »).

Comment lire un vecteur directeur ? En partant du point de coordonnées \((0 ;3)\), il faut se déplacer de \(4\) unités vers la droite, puis \(3\) unités vers le bas pour rejoindre la droite (au point de coordonnées \((4 ;0)\) ).

Cela fournit les coordonnées d’un vecteur directeur : celui de coordonnées \((4;-3)\)


Quel(s) vecteur(s) sont colinéaires à \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -3\end{pmatrix}\) ?

Une question essentielle pour bien comprendre ce qu’est un vecteur directeur.

Question 5

La droite d'équation cartésienne \(3x-5y-20=0\) est représentée par :

\(D_1\)

\(D_2\)

\(D_3\)

\(D_4\)

\(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 3\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur (toujours la formule \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a\end{pmatrix}\) ), cela permet d’éliminer quelques candidates par lecture graphique.


S'aider des points vérifiant l’équation de la droite (c’est la même équation que dans la question 1 : reprendre les points trouvés alors).

Seules \(D_1\) et \(D_3\) admettent comme vecteur directeur le vecteur de coordonnées (on le voit en mesurant le décalage de 5 carreaux vers la droite puis 3 vers le haut sur le graphique).
Et parmi ces droites, une seule passe par \(M(0 ;-4)\) : c’est \(D_3\) !