Cours Théorème de Thalès et sa réciproque
Exercice d'application

Exercice : Agrandissement

Julien veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous.

Il place la croix de telle sorte que O, D et A d’une part et O, E et B d’autre part soient alignés.

Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place [DE] verticalement et [OF] horizontalement.

Il mesure au sol BC = 7,7 m.

1)  Le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE. Justifier que le coefficient d’agrandissement est 22.

2)  Calculer la hauteur de l’arbre en mètres.

3)  Certaines croix de bûcheron sont telles que DE = OF. Quel avantage apporte ce type de croix ?

4)  Julien enroule une corde autour du tronc de l’arbre à 1,5 m du sol. Il mesure ainsi une circonférence de 138 cm. Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur ? Donner un arrondi au centimètre près.

  1.  

1) $BC=7,7$m$=770$cm

On a :  $\dfrac{BC}{OF}=\dfrac{770}{35}=22$

Donc le coefficient d’agrandissement est $22$.

 

2) $OAB$ est un agrandissement de $ODE$, de coefficient $22$.

Donc $AB = 22 \times DE = 22 \times 20 = 440$

Donc la hauteur de l’arbre est de $440$ cm soit 4,40 m.

 

3) $[BC]$ est un agrandissement de $[OF]$, tout comme $[AB]$ est un agrandissement de $[DE],$ de même coefficient.

Donc si $DE = OF$ alors $AB = BC$.

 

4) Soit $d$ le diamètre de l’arbre à cette hauteur et $P$ son périmètre.

$P = \pi \times d$

D’où : $d=\dfrac{138}{\pi}\approx 44$

Le diamètre de l’arbre est d’environ 44 cm.

La hauteur de l’arbre sera donc égale à la distance $BC$.