Cours Fonction inverse, fonction racine carrée
Exercice d'application

Exercice : Fonction inverse

Question de cours : 

Démontrer que la fonction inverse $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur les deux intervalles de son ensemble de définition.

Montrons que la fonction inverse $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur l'intervalle $] 0 ; +∞ [$. Pour cela, montrons que cette fonction change l'ordre des images.

Soient $a$ et $b$ des réels strictement positifs tels que $a ≤ b$. Etudions le signe de $f(a)-f(b)$.

$f(a)-f(b) =\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} $

$f(a)-f(b) =\dfrac{b-a}{ab} $

Or $b-a \geq 0$ car $b \geq a$

De même, $ab \geq 0$ car $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs.

Ainsi : $f(a)-f(b) \geq 0$

En conclusion : 

Si $a≤ b$ alors $\dfrac{1}{a}\geq \dfrac{1}{b} $.

L'ordre est changé, la fonction inverse est donc décroissante sur $] 0 ; +∞ [$. La démonstration est identique pour les réels strictement négatifs.