Cours Fonction inverse, fonction racine carrée
Exercice d'application

Exercice : La fonction racine carrée

 

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f(x) = \sqrt{x}$

 

1) Énoncer le sens de variation de $f$

 

2) A) Pourquoi la fonction racine carrée est-elle définie sur l'intervalle $[0; + \infty[$

B) Pourquoi la fonction racine carrée est-elle positive ?

 

3) Soit $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $0 \le a < b$

Montrer que :

$\sqrt{b} - \sqrt{a} = \dfrac{b-a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$

Étudier le signe de ce quotient et en déduire le sens de variation de la fonction $f$

1) La fonction $f(x)$ est croissante.

 

2) A) On ne peut pas prendre la racine d'un nombre négatif.

B) Un nombre au carré n'est jamais négatif, donc si $x^2=a$, $a>0$, on a $x= \sqrt{a} >0$

 

3) $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \dfrac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{(\sqrt{b} + \sqrt{a})} = \dfrac{b-a}{(\sqrt{b} + \sqrt{a})}$

Le dénominateur est toujours positif, donc le signe du quotient dépend du numérateur, comme $a<b$, on a un quotient positif. Donc $f$ croissante.