Cours Stage - Probabilités, vocabulaire

Exercice - Probabilités simples et intersections

L'énoncé

On prend un jeu de 54 cartes, auxquels on soustrait les deux jokers.

Pour rappel, voici la composition d’un tel jeu :

  • Cœur (rouge) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet (figure), dame (figure), roi (figure).
  • Carreau (rouge) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet (figure), dame (figure), roi (figure).
  • Trèfle (noir) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet (figure), dame (figure), roi (figure).
  • Pique (noir) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet (figure), dame (figure), roi (figure).

On définit quatre événements comme suit :

  • A : « la carte tirée est un sept »
  • B : « la carte tirée est un cœur »
  • C : « la carte tirée est une figure »
  • D : « la carte tirée est rouge »

Question 1

Calculer la probabilité de ces événements (penser à simplifier au maximum les quotients).

L'événement $A$ a $4$ issues car il y a $4$ cartes "sept". il y a un total de $52$ cartes donc : 

$p(A) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{2}{26} = \dfrac{1}{13}.$

Il y a $4$ couleurs donc : 

$p(B) =\dfrac{1}{4}$   (on peut le définir directement, puisqu’il y a 4 couleurs ayant le même nombre de cartes).

Il y a $3$ figures par couleur et $4$ couleurs différentes donc 

$p(C) = \dfrac{(3 \times 4)}{52} = \dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13}.$

La moitié des cartes sont rouges donc : 

$p(D) = \dfrac{1}{2}.$

Question 2

Définir les événements $(A \cap B), (C \cap D), (A \cap C), (A \cup B), (B \cup D), (C \cup D).$

$(A \cap B)$ : « la carte tirée est un sept de cœur ».

$(C \cap D)$ : « la carte tirée est une figure rouge ».

$(A \cap C ) $ : « la carte tirée est un sept et une figure ». 

$(A \cup B)$ : « la carte tirée est un sept ou un cœur ».

$(B \cup D) $ : « la carte tirée est un cœur ou rouge ».

$(C \cup D)$ : « la carte tirée est une figure ou est rouge ».

Question 3

Calculer les probabilités des évènements $(A \cap B), (C \cap D), (A \cap C), (A \cup B), (B \cup D), (C \cup D).$

$p(A \cap B) = \dfrac{1}{52}.$

$p(C \cap D) =\dfrac{6}{52} =\dfrac{3}{26}.$

$p(A \cap C) = 0$ (cet évènement est impossible, la probabilité est nulle).

Utilisons à présent la formule de probabilité totale : 

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) – p(A \cap B) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{13}{52} -\dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}.$

$p(B \cup D) = p(B) + p(D) – p(B \cap D) = p(B)$ (car tous les cœurs sont rouges) $=\dfrac{1}{4}.$

$p(C \cup D) = p(C) + p(D) – p(C \cap D) = \dfrac{12}{52} + \dfrac{26}{52} -\dfrac{6}{52} =\dfrac{32}{52}.$

$p(C \cup D) = p(C) + p(D) – p(C \cap D) =\dfrac{8}{13}$

À retenir : $ p(A \cup B) = p(A) + p(B) – p(A \cap B)$