Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Statistiques

Avant une élection à laquelle se présente un candidat A, on réalise un sondage auprès de 98 personnes pour estimer le pourcentage de votants qui vont choisir le candidat A.
On suppose que ce sondage revient à une prise d’échantillon, c'est-à-dire que chaque personne interrogée est choisie au hasard parmi les votants et qu’elle va réellement voter pour la personne qu’elle aura désignée lors du sondage.

42 personnes interrogées déclarent voter pour le candidat A. On note p la proportion des votants qui voteront effectivement pour le candidat A.
Les calculs effectués dans cet exercice seront arrondis au millième.

1. Donner un intervalle de confiance de p au niveau 0,95.

2. Le candidat A est déclaré élu si plus de 50% des votants l’ont choisi. A la vue de ces résultats, est-il possible que le candidat A soit élu ? Justifier votre réponse.

3. Un deuxième sondage est organisé dans les mêmes conditions mais on interroge 1 000 personnes. Parmi celles-ci, 565 voteront pour le candidat A. A la vue de ces résultats, est-il possible que le candidat A ne soit pas élu ? Justifier votre réponse.

1. La fréquence observée dans cet échantillon de 98 personnes est : $f =\dfrac{42}{98}= \dfrac{3}{7} ≈ 0.429$ au millième.

Un intervalle de confiance de p au niveau 0,95 est donc donné par : 

$I = \left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{\sqrt{98}};\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{\sqrt{98}}\right]=[0,327;0,529]$

2. A l’aide de cet échantillon, on peut dire avec un seuil de confiance de 95%, que la proportion des votants qui voteront effectivement pour A dans la population est comprise entre 32.8% et 53%.
Il est donc possible que A soit élu puisque 0.5 est dans l’intervalle.

3. La fréquence observée dans ce nouvel échantillon de 1 000 personnes est :

f = $\dfrac{565}{1000}=0,565$ au millième.

Un intervalle de confiance de p au niveau 0,95 est donc donné par : 

$I = \left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,565-\dfrac{1}{\sqrt{1000}};0,565+\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\right]=[0,533;0,597]$

A l’aide de cet échantillon, on peut dire avec un seuil de confiance de 95%, que la proportion des votants qui voteront effectivement pour A dans la population est comprise entre 53.3% et 59.7%.
Cet échantillon permet donc de dire qu’au seuil de 95%, qu’il est difficile que le candidat A ne soit pas élu (0.5 n’est pas dans l’intervalle).

Il faut tout de même rester prudent (il y a à priori 5% de marge d’erreur) ; nous n’affirmerons pas qu’il va gagner, nous dirons seulement que les résultats de cet échantillon montrent que cela est fortement probable.