Cours Vecteurs, coordonnées, colinéarité
Exercice d'application

Exercice : vecteurs

Soient $A(-6 ; 1)$, $B(-3 ; -1)$, $C(4 ; 5)$ et $D(1 ; 7)$ quatre points du plan. Faire une figure.

1. a) Démontrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ sont colinéaires.

b) En déduire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

 

2. a) Déterminer une équation de la droite $(AC)$, puis de la droite $(BD)$.

b) Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles parallèles ?

 

Soit $I$ le point de coordonnées  $(-1 ; 3)$.

3. a) Démontrer que $\vec{AI}$ et $\vec{IC}$ sont colinéaires.

b) En déduire que $A$, $I$ et $C$ sont alignés.

 

4. a) Démontrer que $I$ appartient à la droite $(BD)$.

b) En déduire que $B$, $I$ et $D$ sont alignés.

 

5. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$, et que représente le point $I$ pour ce quadrilatère ?

1. a) Coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ : $\vec{AB} (-3 -(-6) ; -1-1)$ donc $\vec{AB} (3 ; -2)$.

De même, on a $\vec{DC} (3;-2) $. Les vecteurs sont égaux donc a fortiori colinéaires.

 

b) D’après le cours, dire que $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ sont colinéaires est équivalent à dire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

 

 

2. a) Le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est $\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A} = \dfrac{4}{10}$. 

Il reste à déterminer l’ordonnée à l’origine. Or on sait que $y_A = \dfrac{4}{10} x_A + b$. D’où $b = 3,4$.

Ainsi, après simplification, l’équation réduite de la droite $(AC)$ est $y = \dfrac{2}{5}x + 3,4$. De même on trouve l’équation réduite de $(BD)$ : $y = 2x + 5$.

 

b) $(AC)$ et $(BD)$ n’ont pas le même coefficient directeur, elles ne sont donc pas parallèles.

  

Soit $I$ le point de coordonnées $(-1 ; 3)$.

3. a) $\vec{AI}$ et $\vec{IC}$ ont tous deux pour coordonnées $(5;2)$.

Ils sont égaux donc colinéaires.

 

b) $\vec{AI}$ et $\vec{IC}$ sont colinéaires, et ont un point en commun.

D’après le cours, cela est équivalent à dire que les points $A$, $I$ et $C$ sont alignés.

 

 

4. a) Il faut s’assurer que les coordonnées du point $I$ vérifient l’équation réduite de la droite $(BD)$, donc a-t-on $y_I = 2x_I + 5$ ?

On sait que :  $2x_I + 5 =3$ et $y_I = 3$. Donc $I$ appartient à la droite $(BD)$.

 

b) Les trois points appartiennent à la même droite. Par définition d’une droite, ils sont alignés.

 

5. On sait que $\vec{AB}= \vec{DC}$. D’après le cours, cela est équivalent à dire que $ABCD$ est un parallélogramme.

Les diagonales se coupent en $I$, donc $I$ est son centre.