Cours Relation de Chasles
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Une seule réponse est correcte.


Tu as obtenu le score de


Question 1


On donne deux points \(A\) et \(B\). Placer \(C\) tel que \(\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).
Exprimez \(\overrightarrow{BC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{BC}=-4\overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Faites une figure.


Connaissez-vous la relation de Chasles ? Allez voir la vidéo dans les prérequis.


Ici vous pouvez démarrer avec : \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\).


Rappelez-vous : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).

Question 2



On sait que : \(\overrightarrow{BC} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)
Exprimez à présent \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AC} = 3 \times \overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AC} = -3 \times \overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3} \times \overrightarrow{BC}\)

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

On sait que \(\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\). Et on sait aussi que \(\overrightarrow{BC} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\). Que pouvez-vous en déduire ?

Question 3

On place \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).



On sait que : \(\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)
Exprimez \(\overrightarrow{CD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).

\(\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{12}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{CD}=-\frac{17}{12}\overrightarrow{AB}\)

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Utilisez la relation de Chasles.


\(\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\)


On connait ensuite chacun des deux vecteurs en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).

Question 4

On sait que : \(\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\).


Exprimez à présent \(\overrightarrow{AB}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{BC}\)

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

C’est un calcul numérique tout simple. Vous pouvez par exemple commencer par un produit en croix, si vous hésitez.

Question 5



Sachant que \(\overrightarrow{CD}=-\frac{17}{12}\overrightarrow{AB}\)
Exprimez pour finir \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).
La première étape du calcul est :

\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC} - \frac{17}{12} \times \overrightarrow{AB} \)

\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC} + \frac{17}{12} \times \overrightarrow{AB} \)

\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC} - \frac{12}{17} \times \overrightarrow{AB} \)

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Utilisez encore la relation de Chasles.


Vous voulez faire apparaître \(\overrightarrow{BC}\). Vous n’avez donc pas le choix.


\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC} + ? \)

Question 6



On a : \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC} - \frac{17}{12} \times \overrightarrow{AB} \)
Or comme \(\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{BC}\) alors la dernière étape du calcul de \(\overrightarrow{BD}\) est :

\(\overrightarrow{BD}= -\frac{20}{12}\overrightarrow{BC} \)

\(\overrightarrow{BD}= \frac{17}{12}\overrightarrow{BC} \)

\(\overrightarrow{BD}= -\frac{20}{3}\overrightarrow{BC} \)

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Remplacez \(\overrightarrow{AB}\) par \(-4\overrightarrow{BC}\) dans l’expression trouvée en question 5.


Simplifiez et réduisez les fractions.

Question 7

Soit un triangle \(ABC\).
On place les points \(D\) et \(E\) définis par :
\(\overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).



Le but des trois questions suivantes est de montrer que les points \(A\), \(D\) et \(E\) sont alignés.
Première étape : quelle méthode adaptée à l'exercice peut-on choisir ?

On peut montrer que \(AD = AE+ED\).

On peut regarder la figure et conclure.

On peut montrer que \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont colinéaires.

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Pour montrer que 3 points sont alignés, il y a une méthode bien particulière dans votre cours.


Besoin d’un rappel ? Allez voir la vidéo dans les prérequis.

Question 8



On veut donc montrer que \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont colinéaires.

Pour cela, exprimez \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{BC}\).
( N'oublions pas que : \(\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).)

\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Utilisez à nouveau la relation de Chasles.


Souvenez-vous : \(\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

Question 9



On a : \(\overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
Exprimez à présent \(\overrightarrow{AD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\)

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Vous savez que \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).


Vous devez juste exprimer \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{BC}\). Facile ! C’est encore avec la relation de Chasles.


Remplacez à présent \(\overrightarrow{AC}\) dans votre expression précédente.

Question 10



Comparons à présent les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\).
On a : \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
et \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
On remarque que :

\(\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AE}\) et les points \(A\), \(E\) et \(D\) sont alignés.

\(\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AE}\) et les points \(A\), \(E\) et \(D\) sont alignés.

\(\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AE} +\overrightarrow{BC} \) et les points \(A\), \(E\) et \(D\) sont alignés.

Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.

Calculez \(3\overrightarrow{AE}\)