Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Primitives de fonctions

1) Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]1 ; +\infty[$ par : $g(x) = \dfrac{1}{x (x^2-1)}$.

a) Déterminer les nombres réels $a, b$ et $c$ tels que l’on ait, pour tout  $x > 1$.

$g(x) = \dfrac{a}{x}+ \dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1}$ ;

b) Trouver une primitive $G$ de $g$ sur l’intervalle $]1 ; +\infty[$.

2) Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]1 ; +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$. 

Trouver une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $]1 ; +\infty[$.

 

1) Soit $g(x) = \dfrac{1}{x (x^2-1)}$

a) $g(x) = \dfrac{a}{x}+ \dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1} = \dfrac{a(x+1)(x-1)+bx(x-1)+cx(x+1)}{x(x+1)(x-1)}$

$g(x)= \dfrac{(a+b +c)x^2 + (c-b)x - a}{x(x+1)(x-1)}$.

On en déduit par identification : $\begin{cases} a+b+c=0 \\ c-b=0 \\ -a=1  \end{cases} \iff \begin{cases} b+c=1 \\ c-b=0 \\ a=-1  \end{cases} \iff \begin{cases} b= \dfrac{1}{2} \\ c= \dfrac{1}{2} \\ a= -1  \end{cases} $.

On a donc $g(x) = \dfrac{-1}{x}+ \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{x+1}+ \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x-1}$.

 

b) Soit $G$ une primitive de $g$ sur $]1 ; +\infty[$.

$G(x) = \displaystyle \int g(x)dx =-ln \vert x \vert + \dfrac{1}{2} ln \vert x+1 \vert + \dfrac{1}{2} ln \vert x-1 \vert$

$G(x)=-ln x + \dfrac{1}{2} ln (x+1) + \dfrac{1}{2} ln( x-1)$ 

(ne pas oublier les valeurs absolues au départ, on les supprime par la suite car on est sur $]1 ; +\infty[$ ).

 

2) Soit $F$ une primitive de $f$ sur $]1 ; +\infty[$.

Pour trouver une primitive de $f(x)= \dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$, il suffit d’utiliser :

$\displaystyle \int u'u^n(x)dx = \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$ avec $u= x^2-1$ et $n=-2$.

Ainsi :

$F(x) = \displaystyle \int f(x)dx = \dfrac{1}{-2+1}(x^2-1)^{-2+1} $

$F(x)= \dfrac{-1}{x^2-1}$