Cours Stage - Intégrales

Calcul d'intégrale de fonctions simples

L'énoncé

Donner la valeur de chaque intégrale donnée.


Question 1

Trouver la valeur de $A = \displaystyle \int_{1}^{5} 1 - \frac{2}{x^3} \mathrm{d}x$

On utilise la linéarité de l'intégrale, on réécrit ainsi $A$ comme la somme de deux intégrales :

$A = \displaystyle \int_{1}^{5} 1 \times \mathrm{d}x + \displaystyle \int_{1}^{5} \frac{-2}{x^3} \mathrm{d}x$.

On pose $u(x) = 1$ et $v(x) = \dfrac{-2}{x^3} $ pour $x \in [1; \, 5]$.

Une primitive de $u$ est $x$. 

Intéressons nous maintenant au calcul d'une primitive de $v$.

On réécrit $v$ comme : $v(x) = -2 x^{-3}$ et on remarque alors que $v$ est de la forme $n x^{n - 1}$, avec $n = -2$, donc une primitive de $v$ est $x^{-2}$.

Ainsi $ A = \left [x + \dfrac{1}{x^2} \right]_1^5  = 5 + \dfrac{1}{5^2} - 1 - \dfrac{1}{1^2}$.

Finalement, $ A = \dfrac{76}{25} = 3.04$.

 

On pourra utiliser la linéarité de l'intégrale pour se ramener à deux intégrales que l'on calculera séparément.


En posant $v(x) = -2 x^{-3}$ pour $x \in [1; \, 5]$, on pourra reconnaitre une forme particulière. 

Question 2

Trouver la valeur de $B = \displaystyle \int_{0}^{10} \dfrac{1}{{(3x + 1)}^2} \mathrm{d}x$

Posons pour $x \in [0; \, 10], \; f(x) = \dfrac{1}{{u(x)}^2}$, avec $u(x) = 3x + 1$. 

On reconnait ici une équation de la forme $u'u^n \times c$, avec $c$ une constante qu'il s'agit de déterminer et $n = - 2$.

Tout d'abord, on sait que $u'(x) = 3$ pour tout $x \in [0; \, 10]$.

Ainsi, si on pose $c = \dfrac{1}{3}$; on obtient l'écriture de $f$ suivante :

$f(x) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{{(3x + 1)}^2}$, or une primitive de $u'u^n$ est $\dfrac{1}{n+1} \times u^{n+1}$.

Ainsi, $B = \left [ \dfrac{1}{3} \times \dfrac{-1}{3x + 1} \right]_0^{10} =\dfrac{1}{3} \times \left (\dfrac{-1}{3\times 10 + 1} -  \dfrac{-1}{3\times 0 + 1} \right ) = \dfrac{10}{31}$

 

On cherchera une constante $c$ afin que $\dfrac{1}{{(3x + 1)}^2}$ soit de la forme $c \times u'u^n$, avec $u$ et $n$ à déterminer. 

Question 3

Donner une valeur approchée au millième près de $C = \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{3x^2 - 4x}{x^3 - 2x^2 +7} \mathrm{d}x$

Posons pour $x \in [1; \, 2], \; f(x) = \dfrac{3x^2 - 4x}{x^3 - 2x^2 +7}$. 

On remarque que le degré du polynôme au numérateur est de 2, alors que celui du dénominateur est de 3, ce qui nous invite à dériver le dénominateur, car la dérivation d'un polynôme abaisse son degré de 1.

Si l'on pose $u(x) = x^3 - 2x^2 +7$ pour $x \in [1; \, 2]$, on trouve alors que $u'(x) = 3x^2 - 4x$ ; ainsi $f$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ dont la primitive est $\ln|u|$.

Ainsi $ C = \left [ \ln| x^3 - 2x^2 +7| \right]_1^{2} \approx 0.154$

Calculer la dérivée du dénominateur. 
Que peut-on alors remarquer sur la forme de $f$ ?

Question 4

Calculer $D = \displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} cos(4x) + \dfrac{2}{x} \mathrm{d}x$.

On utilise la linéarité de l'intégrale pour regarder séparément chacun des termes. 

Ainsi, $\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} \dfrac{2}{x} \mathrm{d}x = 2 \times \displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x = 2 \times \left [\ln(x) \right]_\pi^{2\pi} = 2 \times (\ln(2\pi) - \ln(\pi)) = 2\ln \left (\frac{2\pi}{\pi} \right) = 2 \ln(2) = \ln(4)$.

Regardons maintenant  $\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} \cos(4x) \mathrm{d}x$. On sait qu'une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$. 

On peut alors s'intéresser à la dérivée de $\sin(4x)$ qui est $4\cos(4x)$. Fort de ce résultat, on peut remarquer qu'une primitive de $\cos(4x)$ est $\dfrac{\sin(4x)}{4}$, ainsi :

$\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} \cos(4x) \mathrm{d}x = \left [\dfrac{\sin(4x)}{4} \right]_\pi^{2\pi} = 0$.

Finalement, $D = \ln(4)$. 

Utiliser la linéarité de l'intégrale.


Dériver $sin(4x)$.

Question 5

Calculer $E = \displaystyle \int_{-3}^{-1} \dfrac{2x + 3}{\sqrt{x^2 + 3x + 5}} \mathrm{d}x$

Posons $f(x) = \dfrac{2x + 3}{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}$ pour $x \in  [-3, \, -1]$.

On essaie de se ramener à une forme connue. La présence d'une racine au dénominateur nous oriente vers une fonction de la forme $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\sqrt{u(x)}$.

Posons $u(x) = x^2 + 3x + 5$ pour $x \in [-3; \, -1]$ et calculons sa dérivée sans omettre de vérifier que $u > 0$ pour $x \in [-3; \, -1]$ (le discriminant est négatif, il n'existe donc pas de x tel que $u(x) = 0$, et $u(0) = 5$, d'où la positivité de $u$):

on a $u'(x) = 2x + 3$.

Ainsi $f(x) = \dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$. On trouve presque la forme attendue, à l'exception du facteur $\dfrac{1}{2}$, que l'on rajoute artificiellement, en n'oubliant pas de multiplier par $2$ le tout pour que $f$ reste inchangée :

Donc, pour $x \in [-3; \, -1]$, on a : $f(x) = 2 \times \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.

En conclusion, $E = \displaystyle \int_{-3}^{-1}  2 \times \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} $

$E=2 \left [\sqrt{u(x)} \right]_{-3}^{-1} $

$E=2 \left [\sqrt{x^2 + 3x + 5} \right]_{-3}^{-1} $

$E=2(\sqrt{3} - \sqrt{5})$

Calculer la dérivée de  $x^2 + 3x + 5$.