Cours Stage - Intégrales
QCM
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L'énoncé

Pour chaque question, donner la bonne réponse en justifiant votre choix.


Tu as obtenu le score de


Question 1

La valeur moyenne de la fonction carré sur \([0 , 1]\) est :

\(0\)

\( \dfrac{1}{2}\)

\( \dfrac{1}{3}\)

La fonction est continue sur l'intervalle choisi donc :
\( \mu = \dfrac{1}{1-0} \displaystyle\int^1_0 x^2dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3\right]^1_0 = \dfrac{1}{3}\)

La fonction carré n’a pas de valeur moyenne.

Savez-vous ce qu’est la valeur moyenne d’une fonction ? Sinon, regardez la vidéo.


Vous devez connaître par cœur la formule de la valeur moyenne : pour une fonction \(f\) continue sur l’intervalle \([a, b]\), \( \mu = \frac{1}{b-a} \displaystyle\int^b_a f(x)dx\)


Connaissez-vous une primitive de la fonction carré ? Il faut apprendre ces formules ! Ensuite ce n’est que du calcul…

Question 2

La valeur moyenne de la fonction cube sur \([-2 , 2]\) est :

\(0\)

La fonction est continue sur l'intervalle choisi donc :
\( \mu = \dfrac{1}{2-(-2)} \displaystyle\int^2_{-2} x^3dx = \left[ \dfrac{1}{16} x^4\right]^2_{-2} = \dfrac{1}{16}(16-16)= 0\)

\(\dfrac{1}{4}\)

\(2\)

\(4\)

Savez-vous intégrer la fonction cube ?


Une primitive de \(x^3\) est \( \dfrac{1}{4} x^4\)


Avez-vous remarqué que cette fonction est impaire?


Que peut-on en déduire pour son intégrale sur un intervalle centré en zéro?

Question 3

La valeur moyenne de la fonction sinus sur \([0 , \pi]\) est :

\(0\)

\(2\)

\(\dfrac{1}{\pi}\)

\(\dfrac{2}{\pi}\)

La fonction est continue sur l'intervalle choisi donc :
\( \mu = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int^\pi_0 \sin(x) \ dx = \dfrac{1}{\pi}[ -\cos(x)]^\pi_0 = \dfrac{1}{\pi}(1+1)= \dfrac{2}{\pi}\)

Savez-vous intégrer la fonction sinus ?


Besoin d’un rappel ? Vous trouverez tout dans le chapitre Trigonométrie.

Question 4

La valeur moyenne de la fonction exponentielle sur \([0 , 1]\) est :

\(0\)

\(e\)

\(e-1\)

La fonction est continue sur l'intervalle choisi donc :
\( \mu = \frac{1}{1} \displaystyle\int^1_0 e^x dx =\left[ e^x\right]^1_0 = e -1\)

\( \dfrac{1}{e}\)

Connaissez-vous une primitive de la fonction exponentielle ?

Question 5

La valeur moyenne de la fonction inverse sur \([-1 , 1]\) :

\(0\)

\(\ln(1)\)

\( \dfrac{1}{e}\)

n'existe pas.

La fonction inverse n’est pas définie sur \([-1 , 1]\), elle n’admet donc pas de valeur moyenne sur cet intervalle.

Attention ! À quelle condition peut-on définir la valeur moyenne d’une fonction ?


En cas de doute, représenter la fonction inverse et observer l’intervalle à considérer.