Cours Stage - Intégration par parties

Intégration par parties

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Fiche de cours

Intégration par parties

 

L'intégration par parties permet de calculer une intégrale dont on ne connait pas de primitive.

 

Théorème :


Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a; b]$,

$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$

 

Démonstration :


La démonstration utilise la formule de dérivation d'un produit de fonctions.

En effet, on sait que $(u\times v)' = u'v + uv'$.

Ainsi, $u'v = (u\times v)' - uv'$.

On intègre alors l'égalité entre $a$ et $b$ :

$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b \big( (uv)'- uv' \big)\, \text{d}t$.

Par linéarité de l'intégrale, on peut écrire que $ \displaystyle \int_a^b \big( (uv)'- uv' \big)\, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b (uv)' \, \text{d}t - \displaystyle \int_a^b  uv'\, \text{d}t$.

Or, la primitive d'une fonction $f'$ est la fonction $f$, ainsi $\displaystyle \int_a^b (uv)' \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b$.

Finalement, $\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$.

 

Exemple :


Calculer $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t$.

L'étape la plus difficile d

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