Cours Stage - Intégration par parties

Exercice - Intégration par parties

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


Question 1

Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
Soit $x \in [1; e]$,
Montrer que $(\ln x)^n - (\ln x)^{n+1} \geq 0$

On sait que la fonction logarithme est croissant pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, et donc sur $[1; e]$.
Ainsi, pour $x \in [1; e]$  $\ln(1) \leq \ln(x) \leq \ln(e)$ ou encore $0 \leq \ln(x) \leq 1$. 
Soit $n \in \mathbb{N}$, $(\ln x)^n$ est positif, donc en multipliant l'inégalité précédente par $(\ln x)^n$ on a  $(\ln x)^{n+1} \leq (\ln x)^n $, ou encore $(\ln x)^n - (\ln x)^{n+1} \geq 0$.

On pourra utiliser la croissance de la fonction logarithme. 

Question 2

En déduire que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $I_n = \displaystyle \int_1^e (\ln x)^n \, \text{d}x$ est décroissante.

D'après la question précédente, on sait que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $x \in [1; e]$, $(\ln x)^{n+1} \leq (\ln x)^n $.
Par croissance de l'intégrale on a : 
$\displaystyle \int_1^e (\ln x)^{n+1} \, \text{d}x  \leq \displaystyle \int_1^e (\ln x)^n \, \text{d}x$, c'est à dire $I_{n+1} \leq I_n$ : la suite $(I_n)$ est donc décroissante. 

Utiliser la question précédente.

Question 3

Calculer $I_1$. 

On souhaite calculer $I_1 = \displaystyle \int_1^e \ln x \, \text{d}x$.
Pour cela, on remarque tout d'abord que $\ln x = 1 \times \ln x$.
On pose $u' = 1$ et $v = \ln x$. $u$ et $v$ sont dérivables sur $[1; e]$. En outre, $u = x$ et $v' = \dfrac{1}{x}$.
On a donc :
$I_1 = [x \ln x]_1^e - \displaystyle \int_1^e x \times \dfrac{1}{x} \, \text{d}x = e \ln e - 1 \ln 1 - \displaystyle \int_1^e 1 \, \text{d}x = e \times 1 - 0 - [x]_1^e = e - (e - 1) = 1$

On pourra faire une intégration par parties. 

Question 4

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
$I_{n+1} = e - (n+1)I_n$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, 
On remarque tout d'abord que $(\ln x)^{n+1} = 1 \times (\ln x)^{n+1}$.
On pose donc $u' = 1$ et $v = (\ln x)^{n+1}$. $u$ et $v$ sont dérivables sur $[1; e]$ et $u = x$ et $v' = (n + 1) \dfrac{(\ln x)^n}{x}$.

Ainsi,
$I_{n+1} = \displaystyle \int_1^e 1 \times (\ln x)^{n+1} \, \text{d}x = \big[x(\ln x)^{n+1} \big]_1^e - \displaystyle \int_1^e x \times (n + 1) \dfrac{(\ln x)^n}{x} \, \text{d}x = e - (n + 1) \displaystyle \int_1^e (\ln x)^n \, \text{d}x$.
Finalement, $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$. 

On pourra procéder à une intégration par parties.

Question 5

En déduire la valeur exacte de $I_3$. 

On commence tout d'abord par calculer $I_2 = e - 2I_1 = e - 2$. 
Enfin, $I_3 = e - 3I_2 = e - 3\times (e - 2) = -2e + 6$

On pourra d'abord calculer $I_2$. 

Question 6

Démontrer que $(n + 1)I_n \leq e$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 

On sait que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $I_n \geq 0$, ou encore $I_{n + 1} \geq 0$. 
Or on sait aussi que $I_{n+1} = e -(n + 1)I_n$
Finalement,  $I_{n+1} \geq 0 \iff e -(n + 1)I_n \geq 0 \iff e \geq (n + 1)I_n$

On utilisera la positivité de $I_n$. 

Question 7

En déduire la limite de $I_n$. 

On sait que $(n + 1) I_n \leq e \iff I_n \leq \dfrac{e}{n+1}$.
Ainsi, $0 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1}$. 
Or $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{e}{n+1} = 0$.
D'après le théorème des gendarmes, $\lim \limits_{n \to + \infty} I_n = 0$. 

On utilisera la question précédente. 

Question 8

Calculer la valeur de $nI_n + (I_n + I_{n+1})$ et en déduire la limite de $nI_n$. 

D'après la question 4, on sait que $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$, c'est à dire $nI_n + (I_{n+1} + I_n) = e$. 
Or $\lim \limits_{n \to + \infty} I_n = 0$. 
Donc finalement, $\lim \limits_{n \to + \infty} nI_n + I_n + I_{n+1} = e = \lim \limits_{n \to + \infty} nI_n$. 

Utiliser la question 4 et le résultat de la question précédente.